Wartości proporcjonalne
Proporcja
Proporcja to równość dwóch ułamków, gdzie \$b\neq 0, d\neq 0\$.
\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \]Aby rozwiązać takie równanie mnożymy je "na krzyż". To znaczy otrzymujemy równanie \$ad=bc\$.
A więc otrzymujemy, że \$ad=bc\$.
Zakładamy, że \$x\neq 0\$ i obliczamy z proporcji.
\[ \begin{align*} \frac{1}{x} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3*x&=1*4 \\ x&=\frac{4}{3} \end{align*} \]Zakładamy, że \$\displaystyle{ 2x+8\neq 0 }\$ i wyznaczamy dziedzinę.
\[\begin{align*} 2x+8&\neq 0 \\ 2x&\neq - 8 \\ x&\neq -4 \end{align*} \]Wyznaczyliśmy dziedzinę i obliczamy \$x\$ z proporcji.
\[\begin{align*}\frac{7}{8} = \frac{x-5}{2x+8} \Rightarrow 8*(x-5) &= 7*(2x+8) \\ 8x-40&=14x+56 \ /-14x, +40 \\ -6x&=96 \\ x&=-16\end{align*} \]d: droga
v: prędkość
t: czas
Z definicji: \$d=vt\$.
Czas \$30\$ min. to połowa godziny, a więc w tym czasie rowerzysta przejedzie \$9[km]\$. Ze wzoru na prędkość mamy proporcję
\[ \begin{align*} v= \frac{18[km]}{1[h]} = \frac{x}{0.5[h]} \end{align*} \] \[ \begin{align*} 18[km]*0.5\cancel{[h]} = 1\cancel{[h]}*x \end{align*} \]Otrzymujemy, że.
\[ x=9[km] \]Odp:Rowerzysta w czasie \$30\$ minut przejedzie \$9[km]\$.
d: droga
v: prędkość
t: czas
Z definicji: \$d=vt\$.
\[ droga=\frac{50[km]}{1\cancel{[h]}} * 7.5\cancel{[h]} = 50[km]*7.5 = 375[km] \]Po \$7.5\$ godzinach jazdy samochód przejedzie \$375[km]\$. Ze wzoru na prędkość mamy proporcję.
\[ \begin{align*} v = \frac{50[km]}{1[h]} &= \frac{x}{7.5[h]} \end{align*} \] \[ \begin{align*} x*1\cancel{[h]} &= 50[km]*7.5\cancel{[h]} = \\ x&=375[km] \end{align*} \]Odp:Po \$7.5\$ godzinach jazdy samochód przejedzie \$375\$ kilometrów.
Ilość pracowników się nie zmienia, ale zauważmy, że czas zwiększa się trzykrotnie, więc masa towaru też powinna zwiększyć się trzykrotnie.
Układamy odpowiednią proporcję pamiętając o przeliczaniu masy i czasu w tych samych jednostkach.
\$15\$ minut = \$0.25\$ godziny
\$45\$ minut = \$0.75\$ godziny
x: Masa towaru przepakowana przez pracowników w czasie \$45\$ minut.
\[ \begin{align*} \frac{420[kg]}{0.25[h]}&=\frac{x}{0.75[h]} \end{align*} \]Rozwiązujemy proporcję.
\[ \begin{align*} x*0.25\cancel{[h]} &= 0.75 * 420 * [kg]\cancel{[h]} \\ &= \frac{75}{100} * 420 * [kg] \\ &= \frac{3}{\cancel{4}} * \cancel{420}^{105} * [kg] \end{align*} \] \[\begin{align*} \frac{1}{4}x &= 3*105 * [kg] \\ x&= 3*4*105*[kg] \\ x&=1260[kg] \end{align*} \]Odp: Siedmioro pracowników w czasie 45 minut przepakuje towar o masie \$1260[kg]\$.
x: Liczba pracowników przepakowująca towar o masie \$1260[kg]\$.
Czas się nie zmienia, ale zauważmy, że masa towaru zwiększa się trzykrotnie, a więc i ilość pracowników powinna zwiększyć się trzykrotnie.
\[\begin{align*} \frac{420[kg]}{7} = \frac{1260[kg]}{x} \end{align*} \]Z proporcji otrzymujemy:
\[\begin{align*} \cancel{420}*x*\cancel{[kg]} &= \cancel{1260}^3*7*\cancel{[kg]} \\ x&= 3*7 = 21 \end{align*} \]Odp: Towar o masie \$1260[kg]\$ przepakuje \$21\$ pracowników.