Logarytm - wprowadzenie
Obliczanie logarytmów
Logarytmem z liczby \$b > 0\$ przy podstawie \$a>0\$ oraz \$a\neq 1\$ nazywamy taką liczbę \$x\$, że \$a^x=b\$:
\[ \log_a(b) = x \Leftrightarrow a^x=b \]Liczbę \$b\$ nazywamy liczbą logarytmowaną, a liczbę \$a\$ podstawą logarytmu.
Aby obliczyć logarytm \$\log_a(b)\$ szukamy liczby \$x\$ takiej, że podniesienie \$a\$ do potęgi \$x\$ będzie równe liczbie \$b\$.
Logarytmem dziesiętnym określamy logarytm z podstawą \$a=10\$ i zapisujemy go skrótem: \$\log_{10}(b) = \log(b) \$.
Poniżej przykłady obliczania logarytmów z definicji. Przed obliczaniem logarytmów dobrze przypomnieć sobie działania na
Niech \$\log_2(8)=x\$ i wtedy szukamy \$x\$ takiego, że:
\[ 2^x=8 \]Staramy się zamienić podstawy potęgi po obu stronach równania na takie same.
\[ 2^x=2^3 \]Z tego otrzymujemy, że:
\[ x=3 \]A więc \$\log_2(8)=3\$.
Niech \$\log_3(9)=x\$ i wtedy szukamy \$x\$ takiego, że:
\[ 3^x=9 \]Staramy się zamienić podstawy potęgi po obu stronach równania na takie same.
\[ 3^x=3^2 \]A więc
\[\begin{aligned} x=2 \end{aligned}\]Mamy, że \$\log_3(9)=2\$.
Niech \$\displaystyle{\log_{16}\left(\frac{1}{4}\right)=x}\$ i wtedy szukamy \$x\$ takiego, że:
\[ 16^x=\frac{1}{4} \]Staramy się zamienić podstawy potęgi po obu stronach równania na takie same.
\[\begin{aligned} \left(4^2\right)^x&=4^{-1} \end{aligned}\]Zgodnie z prawem działań na potęgach w wyrażeniu \$\displaystyle{ \left(4^2\right)^x }\$ wymnażamy wykładniki.
\[\begin{aligned} 4^{2x}=4^{-1} \end{aligned}\]A więc
\[\begin{aligned} 2x&=-1 \\ x&=-\frac{1}{2} \end{aligned}\]Mamy, że \$\displaystyle{\log_{16}\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{2} }\$.
Niech \$\displaystyle{\log_{\sqrt{2}}\left(64\right)=x}\$ i wtedy szukamy \$x\$ takiego, że:
\[\begin{aligned} \left(\sqrt{2}\right)^x&=64 \\ \left(2^{\frac{1}{2}} \right)^x&=2^6 \\ 2^{\frac{1}{2}x}&=2^6 \end{aligned}\]A więc
\[\begin{aligned} \frac{1}{2}x&=6 \\ x&=12 \end{aligned}\]Mamy, że \$\displaystyle{ \log_{\sqrt{2}}\left(64\right) = 12 }\$.
Niech \$\displaystyle{\log\left(\frac{1}{1000}\right)}=x\$ i wtedy szukamy \$x\$ takiego, że:
\[\begin{aligned} 10^x&=\frac{1}{1000} \\ 10^x&=1000^{-1} \\ 10^x&=\left(10^3\right)^{-1} \\ 10^x&=10^{-3} \end{aligned}\]A więc
\[\begin{aligned} x&= -3\end{aligned}\]Mamy, że \$\displaystyle{ \log\left(\frac{1}{1000}\right) = -3 }\$.
Zamiana podstawy logarytmu
Poniższym wzorem zamienimy logarytm z podstawą \$a\$ na wyrażenie z logarytmem z podstawą \$c\$.
Wzoru tego możemy użyć do obliczenia przybliżenia logarytmu niewymiernego, przy użyciu kalkulatora. Kalkulatory mają funkcje obliczania logarytmów dziesiętnych.
Wykorzystując wzór na zamianę podstawy logarytmu, zamieniamy podstawę na \$10\$.
\[\begin{aligned} \log_7(9) = \frac{\log_{10}(9)}{\log_{10}(7)} \end{aligned}\]Korzystajac z kalkulatora obliczamy \$\log_{10}(9) \$ oraz \$\log_{10}(7) \$ z przybliżeniem do \$4\$ miejsca po przecinku.
\[\begin{aligned} \frac{\log(9)}{\log(7)} \approx \frac{0.9542}{0.8451} \end{aligned}\]Korzystajac z kalkulatora obliczamy wynik końcowy z przybliżeniem do \$4\$ miejsca po przecinku.
\[\begin{aligned} \frac{0.9542}{0.8451} = 1.1291 \end{aligned}\]Mamy, że \$\displaystyle{ \log_7(9) \approx 1.1291 }\$.