Cechy podzielności
Poniżej cechy podzielności liczb naturalnych od \$2\$ do \$9\$.
Gdy chcemy zaznaczyć, że liczba \$b\$ jest podzielna przez liczbę \$a\$, to piszemy \$a|b\$.
Gdy chcemy zaznaczyć, że liczba \$b\$ nie jest podzielna przez liczbę \$a\$, to piszemy \$a\nmid b\$.
Podzielność przez \$2\$
Najprostsza i znana cecha podzielności. Dana liczba naturalna dzieli się przez \$2\$, gdy cyfra jedności tej liczby dzieli się przez \$2\$.
\[ 32 \qquad 378 \qquad 1190 \]Podzielność przez \$3\$
Dana liczba naturalna dzieli się przez \$3\$ wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez \$3\$.
a) \$12\$, suma cyfr \$1+2=3\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$12\$ dzieli się przez \$3\$.
b) \$81\$, suma cyfr \$8+1=9\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$81\$ dzieli się przez \$3\$.
c) \$174\$, suma cyfr \$1+7+4=12\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$174\$ dzieli się przez \$3\$.
d) \$405\$, suma cyfr \$4+0+5=9\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$405\$ dzieli się przez \$3\$.
e) \$7551\$, suma cyfr \$7+5+5+1=18\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$7551\$ dzieli się przez \$3\$.
Wykorzystujac cechę podzielności przez \$3\$, wiemy, że mianownik jest podzielny przez \$3\$ tak jak licznik. Skracamy licznik i mianownik przez \$3\$.
\[ \frac{243}{7551} = \frac{81}{2517} \]Ponownie widzimy, że mianownik dzieli się przez \$3\$, więc skracamy licznik i mianownik przez \$3\$.
\[ \frac{81}{2517} = \frac{27}{839} \]Mianownik nie jest już podzielny przez \$3\$, ale licznik tak. Dzielnikami liczby \$27\$ są liczby: \$1, 3, 9, 27\$, a więc bardziej ułamka nieda się uprościć, mamy:
\[ \frac{243}{7551} = \frac{27}{839} \]Podzielność przez \$4\$
Liczba naturalna dzieli się przez \$4\$, jeśli jej ostatnie dwie cyfry są podzielne przez \$4\$, a jeśli liczba składa się z jednej lub dwóch cyfr, to gdy sama ta liczba jest podzielna przez \$4\$.
Tutaj mamy ułatwienie, bo liczba dzieląca się przez \$4\$ na pewno jest liczbą parzystą, ponieważ \$4=2*2\$.
a) \$124\$, mamy \$24:4=6\$, więc \$4|124\$.
b) \$536\$, mamy \$36:4=9\$, więc \$4|536\$.
c) \$68\$, mamy \$68:4=17\$ i oczywiście \$4|68\$.
d) \$7328\$, mamy \$28:4=7\$, więc \$4|7328\$.
e) \$1508\$, gdzie ostatnie dwie cyfry to \$08\$, co znaczy \$8\$. Mamy \$8:4=2\$, więc \$4|1508\$.
Podzielność przez \$5\$
Kolejna prosta cecha podzielności, która mówi, że dana liczba naturalna jest podzielna przez \$5\$, gdy jej cyfrą jedności jest \$0\$ lub \$5\$.
\[ 50 \qquad 125 \qquad 340 \qquad 3905 \]Podzielność przez \$6\$
Liczba naturalna dzieli się przez \$6\$ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest podzielna przez \$2\$ i \$3\$ jednocześnie. Dana liczba musi być parzysta i wystarczy sprawdzić cechę podzielności przez trzy.
a) \$18\$, parzysta oraz \$1+8=9\$, więc \$6|18\$.
b) \$665\$, nieprzysta więc \$6\nmid 18\$.
c) \$84\$, parzysta oraz \$8+4=12\$, więc \$6|84\$.
d) \$576\$, parzysta oraz \$5+7+6=18\$, więc \$6|576\$.
e) \$214\$, parzysta oraz \$2+1+4=7\$, więc \$6\nmid 214\$.
Podzielność przez \$7\$
Liczba naturalna jest podzielna przez \$7\$, jeśli różnica między liczbą składającą się z trzech ostatnich cyfr liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi liczby naturalnej (lub odwrotnie) dzieli się przez \$7\$. Jeśli liczba składa się z trzech lub mniej cyfr, to musimy po prostu sprawdzić czy dzieli się przez \$7\$.
Dla liczby \$8729\$ liczbą składającą się z ostatnich trzech cyfr jest liczba \$729\$. Obliczamy różnicę między tą liczbą a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi liczby naturalnej (lub odwrotnie).
\[ 729 - 8 = 721 \]Sprawdzamy czy liczba \$721\$ dzieli się przez \$7\$ wykorzystując rozdzielność dzielenia względem dodawania.
\[ (700+21):7 = 700:7 + 21:7 = 100 + 3 = 103 \]Liczba \$721\$ dzieli się przez \$7\$, więc liczba \$8729\$ też dzieli się przez \$7\$.
Podzielność przez \$8\$
Liczba naturalna jest podzielna przez \$8\$, gdy jej ostatnie trzy cyfry są podzielne przez \$8\$.
Dla liczby \$824\$ musimy po prostu sprawdzić jej podzielność przez \$8\$. Korzystamy z rozdzielności dzielenia względem dodawania.
\[ (800+24):8 = 800:8 + 24:8 = 100 + 3 = 103 \]Tak więc liczba \$824\$ jest podzielna przez \$8\$.
Dla liczby \$53872\$ sprawdzamy czy liczba składająca się z ostatnich trzech cyfr liczby naturalnej (\$872\$) jest podzielna przez \$8\$. Mamy:
\[ (800+72):8 = 800:8 + 72:8 = 100 + 9 = 109 \]Tak więc liczba \$53872\$ jest podzielna przez \$8\$.
Podzielność przez \$9\$
Dana liczba naturalna dzieli się przez \$9\$ wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez \$9\$.
a) \$351\$, suma cyfr \$3+5+1=9\$ i dzieli się przez \$9\$, więc \$9|351\$.
b) \$2988\$, suma cyfr \$2+9+8+8=27\$ i dzieli się przez \$9\$, więc \$9|2988\$.
c) \$68598\$, suma cyfr \$6+8+5+9+8=36\$ i dzieli się przez \$9\$, więc \$9|68598\$.
Cecha ta jest podobna do cechy podzielności przez \$3\$ i łatwo ją zapamiętać.