Podzielność liczb - podsumowanie
Podzielność liczb całkowitych - podsumowanie
Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną większą od jeden, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne (\$1\$ i samą siebie).
Przykład: \$ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 \$
Liczbą złożoną nazywamy liczbę naturalną większą od jeden, która ma więcej niż dwa dzielniki naturalne.
Przykład: \$ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 \$
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na iloczyn czynników liczb pierwszych jednoznacznie.
Przykład
a) \$8 = 2*2*2\$
b) \$12 = 2^2*3\$
c) \$27 = 3^3\$
d) \$105= 3*5*7\$
Dowolną liczbę całkowitą \$a\in\mathbb{Z}\$ zapiszemy w postaci:
\[ a=dk+r \ \text{dla} \ 0\le r< d \]gdzie liczby \$d,k,r\$ są całkowite oraz \$d>0\$.
Liczbę \$d\$ nazywamy dzielnikiem, liczbę \$k\$ ilorazem, a liczbę \$r\$ resztą. W przykładach \$\underline{ \quad }\$ oznacza dzielnik.
Przykład
a) \$7=\underline{4}*1+3\$
b) \$8=\underline{4}*2+0\$
c) \$-5=\underline{4}*(-2)+3\$
d) \$17=\underline{5}*3+2\$
e) \$-17=\underline{5}*(-4)+3\$
Jeśli \$r=0\$, to mówimy, że liczba \$a\$ jest podzielna przez \$d\$.
Gdy chcemy zaznaczyć, że liczba \$a\$ jest podzielna przez liczbę \$d\$, to piszemy \$d|a\$. (\$d\$ dzieli \$a\$)
Gdy chcemy zaznaczyć, że liczba \$a\$ nie jest podzielna przez liczbę \$d\$, to piszemy \$d\nmid a\$.
Wielokrotność liczby naturalnej \$n\neq 0\$, to liczba \$w\$ taka, że: \$w=nk\$ dla \$k\in\mathbb{N}\$. (\$ n|w \$)
Przykład
a) \$n=1: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \cdots \$
b) \$n=3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 \cdots\$
c) \$n=5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, \cdots \$
Zapiszmy iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych mając \$n\in\mathbb{N}\$.
\[\begin{aligned} L=n*(n+1)*(n+2)*(n+3) \end{aligned}\]Aby udowodnić, że \$24|L\$ musimy pokazać, że liczba \$L\$ jest wielokrotnością liczby \$24\$.
Rozkładamy \$24\$ na czynniki pierwsze: \$24=8*3=2*2*2*3\$.
Pokazując, że \$L=3*2^3*k\$ pokażemy, że ten iloczyn jest podzielny przez \$24\$. Musimy wykazać, że występuje w nim iloczyn \$3*2^3\$.
czynnik \$3\$
Wielokrotność trójki wystąpi w ciągu na pewno przynajmniej jeden raz. Mamy czynnik \$3\$.
czynnik \$2^3\$
Wielokrotność dwójki wystąpi w ciągu na pewno dwa razy, a więc będą tam dwie liczby parzyste.
Wielokrotność czwórki wystąpi w ciągu na pewno jeden raz, a więc jest ona wsród dwóch liczb parzystych.
Liczba \$4=2^2\$ i zostaje jedna \$2\$ na drugą liczbę parzystą. Razem \$2^3\$.
Pokazane zostało, że \$3*2^3\$ występuje w iloczynie czterech kolejnych liczb naturalnych, więc jest on podzielny przez \$24\$.
Liczba całkowita podzielna przez \$4\$ z resztą \$3\$: \$l=4k+3 \$ dla \$k\in\mathbb{Z}\$
Niech \$l=m^2\$, gdzie \$m\$ jest dowolną liczbą całkowitą. Liczba całkowita jest parzysta lub nieparzysta. Rozpatrujemy dwa przypadki.
1) \$m=2k_0\$
2) \$m=2k_0+1\$
Przypadek 1
\[ m^2=(2k_0)^2 = 4k_0^2 \]Sprzeczność, bo reszta kwadratu liczby całkowitej przy dzieleniu przez \$4\$ jest równa \$0\$.
Przypadek 2
\[\begin{aligned} m^2=(2k_0+1)^2 = 4k_0^2 + 4k_0 + 1 = 4(k_0^2+k_0) + 1 \end{aligned}\]Sprzeczność, bo reszta kwadratu liczby całkowitej przy dzieleniu przez \$4\$ jest równa \$1\$.
A zatem kwadrat dowolnej liczby całkowitej przy dzieleniu przez \$4\$ ma resztę \$\{ 0, 1 \}\$, co jest sprzeczne z założeniem, więc \$l\neq m^2\$.
Cechy podzielności przez cyfry 2-9
Podzielność przez \$2\$
Najprostsza i znana cecha podzielności. Dana liczba naturalna dzieli się przez \$2\$, gdy cyfra jedności tej liczby dzieli się przez \$2\$.
\[ 32 \qquad 378 \qquad 1190 \]Podzielność przez \$3\$
Dana liczba naturalna dzieli się przez \$3\$ wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez \$3\$.
a) \$12\$, suma cyfr \$1+2=3\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$12\$ dzieli się przez \$3\$.
b) \$81\$, suma cyfr \$8+1=9\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$81\$ dzieli się przez \$3\$.
c) \$174\$, suma cyfr \$1+7+4=12\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$174\$ dzieli się przez \$3\$.
d) \$405\$, suma cyfr \$4+0+5=9\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$405\$ dzieli się przez \$3\$.
e) \$7551\$, suma cyfr \$7+5+5+1=18\$ i dzieli się przez \$3\$, więc liczba \$7551\$ dzieli się przez \$3\$.
Wykorzystujac cechę podzielności przez \$3\$, wiemy, że mianownik jest podzielny przez \$3\$ tak jak licznik. Skracamy licznik i mianownik przez \$3\$.
\[ \frac{243}{7551} = \frac{81}{2517} \]Ponownie widzimy, że mianownik dzieli się przez \$3\$, więc skracamy licznik i mianownik przez \$3\$.
\[ \frac{81}{2517} = \frac{27}{839} \]Mianownik nie jest już podzielny przez \$3\$, ale licznik tak. Dzielnikami liczby \$27\$ są liczby: \$1, 3, 9, 27\$, a więc bardziej ułamka nieda się uprościć, mamy:
\[ \frac{243}{7551} = \frac{27}{839} \]Podzielność przez \$4\$
Liczba naturalna dzieli się przez \$4\$, jeśli jej ostatnie dwie cyfry są podzielne przez \$4\$, a jeśli liczba składa się z jednej lub dwóch cyfr, to gdy sama ta liczba jest podzielna przez \$4\$.
Tutaj mamy ułatwienie, bo liczba dzieląca się przez \$4\$ na pewno jest liczbą parzystą, ponieważ \$4=2*2\$.
a) \$124\$, mamy \$24:4=6\$, więc \$4|124\$.
b) \$536\$, mamy \$36:4=9\$, więc \$4|536\$.
c) \$68\$, mamy \$68:4=17\$ i oczywiście \$4|68\$.
d) \$7328\$, mamy \$28:4=7\$, więc \$4|7328\$.
e) \$1508\$, gdzie ostatnie dwie cyfry to \$08\$, co znaczy \$8\$. Mamy \$8:4=2\$, więc \$4|1508\$.
Podzielność przez \$5\$
Kolejna prosta cecha podzielności, która mówi, że dana liczba naturalna jest podzielna przez \$5\$, gdy jej cyfrą jedności jest \$0\$ lub \$5\$.
\[ 50 \qquad 125 \qquad 340 \qquad 3905 \]Podzielność przez \$6\$
Liczba naturalna dzieli się przez \$6\$ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest podzielna przez \$2\$ i \$3\$ jednocześnie. Dana liczba musi być parzysta i wystarczy sprawdzić cechę podzielności przez trzy.
a) \$18\$, parzysta oraz \$1+8=9\$, więc \$6|18\$.
b) \$665\$, nieparzysta więc \$6\nmid 18\$.
c) \$84\$, parzysta oraz \$8+4=12\$, więc \$6|84\$.
d) \$576\$, parzysta oraz \$5+7+6=18\$, więc \$6|576\$.
e) \$214\$, parzysta oraz \$2+1+4=7\$, więc \$6\nmid 214\$.
Podzielność przez \$7\$
Liczba naturalna jest podzielna przez \$7\$, jeśli różnica między liczbą składającą się z trzech ostatnich cyfr liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi liczby naturalnej (lub odwrotnie) dzieli się przez \$7\$. Jeśli liczba składa się z trzech lub mniej cyfr, to musimy po prostu sprawdzić czy dzieli się przez \$7\$.
Dla liczby \$8729\$ liczbą składającą się z ostatnich trzech cyfr jest liczba \$729\$. Obliczamy różnicę między tą liczbą a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi liczby naturalnej (lub odwrotnie).
\[ 729 - 8 = 721 \]Sprawdzamy czy liczba \$721\$ dzieli się przez \$7\$ wykorzystując rozdzielność dzielenia względem dodawania.
\[ (700+21):7 = 700:7 + 21:7 = 100 + 3 = 103 \]Liczba \$721\$ dzieli się przez \$7\$, więc liczba \$8729\$ też dzieli się przez \$7\$.
Podzielność przez \$8\$
Liczba naturalna jest podzielna przez \$8\$, gdy jej ostatnie trzy cyfry są podzielne przez \$8\$.
Dla liczby \$824\$ musimy po prostu sprawdzić jej podzielność przez \$8\$. Korzystamy z rozdzielności dzielenia względem dodawania.
\[ (800+24):8 = 800:8 + 24:8 = 100 + 3 = 103 \]Tak więc liczba \$824\$ jest podzielna przez \$8\$.
Dla liczby \$53872\$ sprawdzamy czy liczba składająca się z ostatnich trzech cyfr liczby naturalnej (\$872\$) jest podzielna przez \$8\$. Mamy:
\[ (800+72):8 = 800:8 + 72:8 = 100 + 9 = 109 \]Tak więc liczba \$53872\$ jest podzielna przez \$8\$.
Podzielność przez \$9\$
Dana liczba naturalna dzieli się przez \$9\$ wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr dzieli się przez \$9\$.
a) \$351\$, suma cyfr \$3+5+1=9\$ i dzieli się przez \$9\$, więc \$9|351\$.
b) \$2988\$, suma cyfr \$2+9+8+8=27\$ i dzieli się przez \$9\$, więc \$9|2988\$.
c) \$68598\$, suma cyfr \$6+8+5+9+8=36\$ i dzieli się przez \$9\$, więc \$9|68598\$.
Cecha ta jest podobna do cechy podzielności przez \$3\$ i łatwo ją zapamiętać.