Funkcja - wykres
Zanim zapoznasz się z tym i dalszymi artykułami w tej kategorii możesz prześledzić artykuły dotyczące funkcji liniowej i funkcji kwadratowej ,aby nabrać lepszej intuicji w omawianych tutaj zagadnieniach.
Wykres funkcji
Oś \$OX\$ reprezentuje zbiór, najczęściej \$\mathbb{R}\$, na którym jest określona dziedzina funkcji jako podzbiór tej osi.
Oś \$Oy\$ rezprezentuje przeciwdziedzinę funkcji. Tutaj funkcja może przyjmować swoje wartości.
Z wykresu jesteśmy w stanie określić dziedzinę funkcji, jej zbiór wartości i inne własności jak np. miejsca zerowe, punkt przecięcia z osią \$OY\$ czy monotoniczność.
Wykres C oraz D nie są wykresami funkcji.
W wykresie "C" dla argumentu \$x=-2\$ mamy przyporządkowanych wiele wartości. Na wykresie "D" w przedziale \$x\in[-1;4)\$, mamy przyporządkowane dwie wartości tym argumentom.
Najmniejsza i największa wartość funkcji
Niech będzie dana funkcja liczbowa \$f:X\mapsto Y\$ oraz jej zbiór wartości \$W_f\$.
Najmniejsza wartość funkcji to taka wartość \$y_{min}\in W_f\$, że dla wszystkich \$y\in W_f\$ mamy: \$y_{min}\le y\$.
Największa wartość funkcji to taka wartość \$y_{max}\in W_f\$, że dla wszystkich \$y\in W_f\$ mamy: \$y_{max}\ge y\$.
Elementy \$y_{min}\$ i \$y_{max}\$ to po prostu odpowiednio najmniejsza i największa wartość funkcji ze wszystkich jej wartości.
Uwaga. Funkcja może nie mieć wartości maksymalnej lub minimalnej. Na przykład, gdy wartości funkcji dążą do (+/-) nieskończoności lub przedział dziedziny jest otwarty.
Na poniższych przykładach odczytujemy: dziedzinę funkcji, zbiór wartości, wartości minimalne i maksymalne funkcji, o ile istnieją.
Z wykresu widzimy, że dziedzina jest domknięta, to znaczy \$x\in[-7;8]\$. Niezależnie od tego z wykresu odczytamy, że:
\$y_{min} = -60\$
\$y_{max} = 40\$
\$W_f: y\in [-60; 40]\$
\$D_f:x\in[-7;8] \$
\$D_f:x\in[-4;8) \$
Z wykresu odczytamy, że wartość maksymalna funkcja osiąga w punkcie \$x=-4\$ i wynosi \$f(-4)=45\$.
Z wykresu widzimy, że gdy \$x\$ "dąży" do \$8\$, to \$f(x)\$ "dąży" do \$-50\$, ale dla samego \$x=8\$ funkcja nie jest określona. Funkcja nie ma wartości minimalnej, bo zawsze znajdziemy jakąś wartość funkcji, która leży bliżej i bliżej wartości \$-50\$, ale samej tej wartości nie osiąga.
\$y_{min} = \text{brak}\$
\$y_{max}=45\$
\$W_f: y\in(-50;45]\$
\$D_f:x\in(-4;8] \$
Z wykresu widzimy, że gdy \$x\$ "dąży" do \$-4\$, to \$f(x)\$ "dąży" do \$45\$, ale dla samego \$x=-4\$ funkcja nie jest określona. Funkcja nie ma wartości maksymalnej, bo zawsze znajdziemy jakąś wartość funkcji, która leży bliżej i bliżej wartości \$45\$, ale samej tej wartości nie osiąga.
Z wykresu odczytamy, że wartość minimalną funkcja osiąga w punkcie \$x=8\$ i wynosi \$f(8)=-50\$.
\$y_{min} = -50\$
\$y_{max}=\text{brak}\$
\$W_f: y\in[-50;45)\$
\$D_f:x\in(-6;7) \$
Z wykresu odczytujemy wartość minimalną i maksymalną funkcji:
\$y_{min} = -45\$
\$y_{max}=50 \$
\$W_f: y\in[-45;50]\$
Określamy dziedzinę: \$x\in[-4; 7)\$. Z wykresu widzimy, że funkcja ma wartość maksymalną w punkcie \$x=-4\$.
Wyznaczajac wartość minimalną funkcji, do lepszego zobrazowania sytuacji, narysujmy pomocniczą linię poziomą dla \$y=-20\$.
Z wykresu widzimy, że gdy \$x\$ "dąży" do \$7\$, to \$f(x)\$ "dąży" do wartości "granicznej" \$-20\$, ale dla samego \$x=7\$ funkcja nie jest określona. Zauważmy, że wartość "graniczna" \$-20\$ nie jest mniejsza od wartości funkcji w punkcie \$x=-2\$, więc w tym punkcie mamy najmniejszą wartość funkcji.
Podsumowanie:
\$D_f:x\in[-4;7) \$
\$y_{min} = -20\$
\$y_{max}=45 \$
\$W_f: y\in[-20; 45]\$
Określamy dziedzinę:
Pionowa pomarańczowa linia pokazuje nam, że w punkcie \$x=2\$ dziedzina jest nieokreślona. Z wykresu odczytujemy dziedzinę:
\$x\in [-3;2)\cup (2;5) \$
Wartość maksymalna jest określona dla wielu argumentów i wynosi \$30\$.
Wartość minimalna funkcji jest w punkcie \$x=-3\$ i wynosi \$f(-3)=-20\$.
Podsumowanie:
\$D_f:x\in [-3;2)\cup (2;5) \$
\$y_{min} = -20\$
\$y_{max}=30 \$
\$W_f: y\in[-20; 30]\$
\$D_f:x\in(-3;2)\cup (2;4] \$
\$y_{min} = \text{brak}\$
\$y_{max}=\text{brak} \$
\$W_f: y\in(-20;30)\$