Wyznaczanie dziedziny funkcji
Przed wyznaczaniem dziedziny funkcji zapoznaj się z wykresami funkcji.
Wyznaczanie dziedziny z wykresu
Odczytujemy z osi \$OX\$ wszystkie argumenty funkcji.
W punkcie \$x=4\$ funkcja jest określona.
Dziedzina: \$\displaystyle{D_f:x\in (-5; -1) \cup (-1;7] }\$
Dziedzina: \$\displaystyle{D_f:x\in (-\infty; -3)\cup (-3; \infty) }\$
Pomarańczowa pionowa linia (asymptota pionowa) w punkcie \$x=2\$ oznacza, że wraz ze zbliżanie się do tego punktu wartości funkcji rosną do plus / minus nieskończoności, ale funkcja nie jest określona dla samego punktu \$x=2\$. W tym wypadku wartości funkcji rosną do plus nieskończoności.
Dziedzina: \$\displaystyle{D_f:x\in (-\infty; 2) \cup (2; 5] }\$
Dziedzina: \$\displaystyle{D_f:x\in (-\infty;-5)\cup (-3.5;2) \cup (2;\infty) }\$
Wyznaczanie dziedziny algebraicznie
Wyznaczajac dziedzinę algebraicznie musimy wyznaczyć wszystkie takie argumenty funkcji czyli "iksy", które będą spełniać zależności wzoru funkcji. Najczęściej robimy to eliminując ze zbioru liczb rzeczywistych argumenty, które nie pasują do dziedziny lub wyznaczając dziedzinę wprost.
Mianownik nie może być zerowy, więc wykluczamy \$x\$, który zeruje mianownik.
\[\begin{aligned} x-2&=0 \\ x&=2 \end{aligned}\]\$x=2\$ nie może być częścią dziedziny podanej funkcji.
Dziedzina: \$D_f: x\in\mathbb{R}\setminus \{2\}\$
Mianownik nie może być zerowy, więc wykluczamy \$x\$, który zeruje mianownik.
\[\begin{aligned} x^2-9&=0 \\ x^2-3^2&=0 \\ (x+3)(x-3)&=0 \\ x=-3 \ \text{lub} \ x=3 \end{aligned}\]Zbiór \$\{-3;3\}\$ nie może być częścią dziedziny podanej funkcji.
Dziedzina: \$D_f: x\in\mathbb{R}\setminus \{-3;3\}\$
Liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna.
\[\begin{aligned} -x+5&\ge 0 \\ -x&\ge -5 \\ x &\le 5 \end{aligned}\]Dziedzina: \$D_f: \displaystyle{ x\in(-\infty; 5] }\$
Liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna, a mianownik zerowy.
\[\begin{aligned} \frac{x-1}{x^2-3}\ge 0 \ \text{oraz} \ x^2-3\neq 0 \end{aligned}\]A
Wykluczamy \$x\$, który zeruje mianownik.
\[\begin{aligned} x^2-3&=0 \\ x^2-(\sqrt{3})^2&=0 \\ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})&=0 \end{aligned}\]\$x\notin \{ -\sqrt{3}, \sqrt{3} \}\$
B
Rozwiązujemy nierówność.
\[\begin{aligned} \frac{x-1}{x^2-3}&\ge 0 \end{aligned}\]Zamieniamy na postać wielomianową.
\[\begin{aligned} \frac{x-1}{x^2-3}&\ge 0 \ / *(x^2-3)^2 \\ (x^2-3)^2 * \frac{x-1}{x^2-3}&\ge 0 * (x^2-3)^2 \\ (x^2-3)^{\cancel{2}} * \frac{x-1}{\cancel{(x^2-3)}}&\ge 0 \end{aligned}\]Dostajemy.
\[\begin{aligned} (x^2-3)(x-1)&\ge 0 \\ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x-1)&\ge 0 \end{aligned}\]Z wykresu znaku wielomianu odczytujemy dziedzinę funkcji pamiętając o ograniczeniach z punktu A).
Dziedzina: \$D_f: \displaystyle{ x\in(-\sqrt{3};1]\cup (\sqrt{3}; \infty) }\$