Średnia arytmetyczna i ważona

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna dla \$n\$ wyników: \$x_1, x_2, \cdots, x_n\$ dana jest wzorem:

\[ \overline{x} = \frac{x_1+x_2 + \cdots + x_n}{n} \]

Oblicz średnią arytmetyczną z liczb \$2, 5, 7, 7, 9 \$.

\[ \overline{x} = \frac{2 + 5 + 7 + 7 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]

Oblicz średnią arytmetyczną z liczb \$9, 6, 3, 0, -2, -8\$.

\[ \overline{x} = \frac{0 + 6+3+9+(-8)+(-2)}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Średnia arytmetyczna pięciu liczb \$10, x, 3, 5, 4 \$ jest równa \$4\$. Oblicz \$x\$.

\[\begin{aligned} 4 &= \frac{10 + 5+ 4 + 3 + x}{5} \ /*5 \\[1.2em] 20&= 10 + 5+ 4 + 3 + x \\[0.5em] 20&= 22 + x \ /-22 \\[0.5em] x&=-2 \end{aligned}\]

Średnia ważona

Średnia ważona dla \$n\$ wyników: \$x_1, x_2, \cdots, x_n\$, gdy każdemu wynikowi odpowiada określona odpowiednio waga \$w_1, w_2, \cdots, w_n\$ dana jest wzorem:

\[ \overline{x}_w = \frac{x_1w_1+x_2w_2 + \cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} \]

Średnia ważona jest uogólnieniem średniej arytmetycznej. Zauważ, że jeśli wszystkie wagi są takie same, wtedy średnia ważona redukuje się do średniej arytmetycznej.

\[ \overline{x}_w = \frac{x_1w+x_2w + \cdots + x_nw}{w*n} = \frac{\cancel{w}(x_1+x_2+\cdots + x_n)}{\cancel{w}*n} = \frac{x_1+x_2 + \cdots + x_n}{n} \]

Oblicz średnią ważoną z liczb \$2, 3, 3, 7, 10 \$ z wagami odpowiednio wynoszącymi \$ 2, 1, 3, 2, 2 \$.

\[\begin{aligned} \overline{x}_w &= \frac{2*2+3*1+3*3+7*2+10*2}{2+1+3+2+2}\\[1.5em] &= \frac{4+3+9+14+20}{10} = \frac{50}{10} = 5 \end{aligned}\]

Poniższa tabelka przedstawia półroczny rozkład ocen pewnej klasy liczącej \$21\$ osób. Rozkład przedstawia oceny z trzech kartkówek i dwóch sprawdzianów jakie każda osoba z klasy napisała. Oblicz średnią ważoną ocen na koniec półrocza, jeżeli ocena z kartkówki ma wagę równą \$1\$, a ocena ze sprawdzianu ma wagę równą \$2\$. Wynik podaj z dokładnością do wartości dziesiętnych.

Ocena	Kartkówka	Sprawdzian
1	10	6
2	15	6
3	23	9
4	9	14
5	6	5
6	0	2

Mamy policzyć średnią ważoną ze wszystkich ocen i mamy dwa typy ocen z różną wagą, więc możemy policzyć średnią następująco:

\[ \overline{x}_w = \frac{S_k + S_s}{N} \]

gdzie:

\$S_k=\text{suma ocen z kartkówki} * \text{waga} \$

\$S_s=\text{suma ocen ze sprawdzianu} * \text{waga} \$

\$N=\text{suma wszystkich wag} \$

Liczbę konkretnych ocen następująco: \$\text{ocena * liczba ocen}\$. Obliczamy \$S_k\$ oraz \$S_s\$.

\[\begin{aligned} S_k &= (1*10+2*15 + 3*23+4*9+5*6 + 6* 0)*1 \\ &= (10+30+69+36+30+0)*1 \\ &= 175 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} S_s &= (1*6+2*6+3*9+4*14+5*5+6*2 )*2 \\ &= (6+12+27+56+25+12)*2 \\ &= 138 *2 \\ &=276 \end{aligned}\]

Sumę wszystkich wag czyli \$N\$ policzymy następująco: \$N=\text{ilość wag równych 1 * 1 + ilość wag równych 2 * 2}\$.

Suma wag równych 1: Odbyły się trzy kartkówki, a uczniów jest \$21\$. Mamy \$21*3*1=63\$.

Suma wag równych 2: Odbyły się dwa sprawdziany, a uczniów jest \$21\$. Mamy \$21*2*2=84\$.

\[ N=63+84 = 147 \]

Obliczamy średnią:

\[ \overline{x}_w = \frac{175 + 276}{147} = \frac{451}{147} \approx 3.068 = 3.1 \]