Rachunek prawdopodobieństwa - wzory
Dwa ważne wzory z prawdopodobieństwa do zapamiętania, które przydają się przy rozwiązywaniu zadań:
Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń rozłącznych jest równe sumie ich prawdopodobieństw:
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{dla} \ A\cap B = \emptyset \]Prawdopodobieństwo zdarzenia \$A^{'}\$ przeciwnego do \$A\$ wynosi:
\[ P(A^{'}) = 1 - P(A) \]Sposób I
Liczymy prawdopodobieństwo wprost. Mamy \$\Omega=\{ 1,2,3,4,5,6 \}\$. Zdarzenie oczekiwane \$A=\{ 1,2,4,5,6 \}\$.
\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{5}{6} \]Sposób II
Liczymy prawdopodobieństwo, ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do pewnego zdarzenia.
\$A=\{ 3 \}\$: Wypadła \$3\$. Mamy \$\displaystyle{P(A)=\frac{1}{6} }\$.
\$A^{'}\$: Nie wypadła \$3\$ (zdarzenie przeciwne do \$A\$).
\[\begin{aligned} P(A^{'}) &= 1-P(A) \\[0.5em] &=1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6} \end{aligned}\]Kolejność wylosowanych liczb ma znaczenie, a losowana liczba może się powtórzyć. Zbiór \$\Omega=\{ (x_1, x_2) \}\$, gdzie \$x_i\in M\$.
Wszystkich możliwych wyników jest \$|\Omega|=7^2=49\$.
Aby iloczyn był liczbą parzystą przynajmniej jedna wylosowana liczba musi być parzysta. Zamiast rozpatrywać kilka przypadków, możemy policzyć szukane prawdopodobieństwo szybciej.
\$A\$: Iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest nieparzysty.
\$A^{'}\$: Iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest parzysty (zdarzenie przeciwne do \$A\$).
Szukamy ilość wyników dla zdarzenia \$A\$: Aby iloczyn dwóch liczb był nieparzysty, musimy wylosować dwie liczby nieparzyste.
\[ |A| = 4*4 = 16 \]Prawdopodobieństwo, że iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest nieparzysty wynosi \$\displaystyle{ P(A)=\frac{16}{49} }\$.
Obliczamy prawdopodobieńśtwo zdarzenia \$A^{'}\$:
\[\begin{aligned} P(A^{'}) &= 1-P(A) \\[0.5em] &=1-\frac{16}{49} \\[1em] &=\frac{49-16}{49} \\[1em] &=\frac{33}{49} \end{aligned}\]Różne wzory dotyczące prawdopodobieństwa:
Prawdopodobieństwo sumy dwóch dowolnych zdarzeń:
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi \$1\$:
\[ P(\Omega) = 1 \]Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi \$0\$:
\[ P(\emptyset) = 0 \]