Rachunek prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo definiujemy jako funkcję \$P:S \rightarrow [0;1]\$ spełniającą określone warunki (ten zakres wykracza poza szkołę średnią), która przypisuje zdarzeniom określone prawdopodobieństwo zajścia. Wartość \$0\$ oznacza zdarzenie niemożliwe, a wartość \$1\$ oznacza zdarzenie pewne, które zachodzi zawsze.
\$S\$: Dziedzina zawierająca wszystkie możliwe zdarzenia (podzbiory) zbioru zdarzeń elementarnych \$\Omega\$.
\$\Omega\$: Zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) doświadczenia losowego.
W ramce poniżej, wraz z poniższym twierdzeniem, masz sposób korzystania z rachunku prawdopodobieństwa w szkole średniej.
(1) Określamy doświadczenie losowe jako eksperyment, na którym badamy prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia. Przykład: Rzucamy monetą jeden raz.
(2) Określamy zbiór zdarzeń elementarnych \$\Omega\$ (Omega) jako zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego.
Dla rzutu monetą jeden raz, może wypaść orzeł lub reszka.
\[ \Omega = \{ O, R \} \]Zakładamy, że wszystkie zdarzenia elementarne mają równe szanse zajścia. Dla rzutu monetą jeden raz mamy:
\[ P(\{ O \}) = P(\{ R \}) \](3) Określamy jakieś zdarzenie oczekiwane \$A\$ jako podzbiór \$\Omega\$. Dla rzutu monetą jeden raz możemy wybrać \$A:\$ wypada reszka.
\[ A = \{ R \} \](4) Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia \$A\$ stosując twierdzenie poniżej:
\$|A|=1\$
\$| \Omega |=2\$
\[ P(A) = \frac{1}{2} \]Prawdopodobieństwo zdarzenia \$A\subset \Omega\$ dla skończonego i niepustego zbioru zdarzeń elementarnych \$\Omega\$, którego elementy mają równe prawdopodobieństwo zajścia dane jest wzorem:
\$|A|\$: Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu \$A\$.
\$| \Omega |\$: Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia.
W celu obliczania prawdopodobieństwa należy umieć zliczać elementy i rozwiązywać zadania kombinatoryczne. Zapoznaj się ze wstępem do kombinatoryki: Kombinatoryka - reguła mnożenia .
Wynikiem rzutu sześcienną kostką do gry może być liczba oczek od \$1\$ do \$6\$.
\[ \Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \} \]Szukamy liczby oczek nieparzystych, a zatem wybieramy odpowiedni zbiór \$A\subset \Omega\$.
\[ A = \{ 1, 3, 5 \} \]Obliczamy prawdopodobieńśtwo:
\[ P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\% \]W pierwszym i drugim rzucie może wypaść ORZEŁ lub RESZKA, więc \$|\Omega| = 2* 2 = 4\$.
Wynikiem dwukrotnego rzutu monetą może być następujący zbiór zdarzeń elementarnych.
\[ \Omega = \{ (O,O), (O,R), (R, O), (R, R) \} \]Szukamy wyników, gdzie przynajmniej raz wypadł orzeł.
\[ A = \{ (O,O), (O,R), (R, O) \} \]Obliczamy prawdopodobieńśtwo:
\[ P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |} = \frac{3}{4} = 75\% \]Wynikiem dwukrotnego rzutu sześcienną kostką do gry może być para liczb od \$1\$ do \$6\$, więc \$|\Omega|=6*6=36\$. Wypiszmy te wyniki.
\[\begin{aligned} \Omega = \{&(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \\ &(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), \\ &(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), \\ &(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), \\ &(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), \\ &(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \} \end{aligned}\]Zdarzenie sprzyjające, którego prawdopodobieństwo szukamy.
\[ A = \{ (1,6), (6,1), (2, 3), (3, 2) \} \]Obliczamy prawdopodobieńśtwo:
\[ P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]Kolejność wylosowanych liczb nas nie interesuje, więc \$\Omega\$ zawiera dwa elementowe podzbiory ze zbioru siedmio elementowego.
\[ | \Omega | =C^2_7= \frac{7*6}{2} = 21 \]\$A\$: Iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest nieparzysty.
Szukamy takich dwóch liczb, aby ich iloczyn był liczbą nieparzystą, więc obie wylosowane liczby muszą być nieparzyste. Wybieramy dwie liczby spośród czterech nieparzystych.
\[ |A| = C^2_4 = \frac{4*3}{2} = 6 \]Obliczamy prawdopodobieńśtwo:
\[ P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \]