Rozwiązywanie równania z wartością bezwzględną
Aby rozwiązać równanie z wartością bezwzględną korzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Przypomnienie wzorów z wartością bezwzględną możesz zobaczyć tutaj.
Rozwiązywanie omówimy na przykładach.
Musimy rozpatrzyć dwa przypadki: 1) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku (+). 2) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku na przeciwny (-).
Przypadek 1) jest dla \$x-3\ge 0\$, więc \$x\ge 3 (+)\$.
Przypadek 2) jest dla \$x-3 < 0\$, więc \$x < 3 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.
\[\begin{aligned} x-3&=7 \\ x&=10 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
2)
Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.
\[\begin{aligned} -(x-3)&=7 \\ -x+3&=7 \\ -x&=4 \\ x&=-4 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest suma rozwiązań z każdego przypadku.
\[ S=\{ -4;10 \} \]Rozpatrujemy przypadki: 1) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku (+). 2) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku na przeciwny (-).
Przypadek 1) jest dla \$x+5\ge 0\$, więc \$x\ge -5 (+)\$.
Przypadek 2) \$x < -5 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.
\[\begin{aligned} x+5&=2 \\ x&=-3 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
2)
Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.
\[\begin{aligned} -(x+5)&=2 \\ -x-5&=2 \\ -x&=7 \\ x&=-7 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest suma rozwiązań z każdego przypadku.
\[ S=\{ -7;-3 \} \]Brak rozwiązania, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna.
\[ |-x+2|\ge 0 \ \text{dla dowolnego} \ x\] \[ S=\emptyset \]Dwa kolejne przykłady ze zmienną \$x\$ po prawej stronie równania.
Rozwiązujemy podobnie jak wcześniejsze przykłady rozważając przypadki. Wartość bezwzględna jest nieujemna, stąd prawa strona nierówności też jest nieujemna.
Przypadek 1) \$x+9\ge 0\$, więc \$x\ge -9 (+)\$.
Przypadek 2) \$x < -9 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
\[\begin{aligned} x+9&=3-x \\ 2x&=-6 \\ x&=-3 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniami.
2)
\[\begin{aligned} -(x+9)&=3-x \\ -x-9&=3-x \\ -9&=3 \end{aligned}\]Równanie jest sprzeczne. Brak rozwiązania
Rozwiązanie
\[ S=\{ -3 \} \]Przypadek 1) \$ 2x-5\ge 0\$, więc \$\displaystyle{ x\ge \frac{5}{2} (+)}\$.
Przypadek 2) \$\displaystyle{x < \frac{5}{2} (-)}\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
\[\begin{aligned} 2x-5&=x+7 \\ x&=12 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniami.
2)
\[\begin{aligned} -(2x-5)&=x+7 \\ -2x+5&=x+7 \\ -3x&=2 \\ x&=-\frac{2}{3} \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniami.
Rozwiązanie
\[ S=\left\{ -\frac{2}{3};12 \right\} \]