Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną
Aby rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną korzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Przypomnienie wzorów z wartością bezwzględną możesz zobaczyć tutaj.
Rozwiązywanie omówimy na przykładach.
Musimy rozpatrzyć dwa przypadki: 1) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku (+). 2) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku na przeciwny (-).
Przypadek 1) jest dla \$x\ge 0 (+)\$.
Przypadek 2) jest dla \$x < 0 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.
\[\begin{aligned} x>7\end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
\[ S_1: x\in (7;\infty) \]2)
Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.
\[\begin{aligned} -x&>7 \\ x& < -7\end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
\[ S_2: x\in (-\infty;-7) \]Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest suma rozwiązań z każdego przypadku.
\[ x\in (-\infty;-7) \cup (7;\infty) \]Rozpatrujemy przypadki: 1) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku (+). 2) Gdy opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku na przeciwny (-).
Przypadek 1) jest dla \$x-3\ge 0\$, więc \$x\ge 3 (+)\$.
Przypadek 2) \$x < 3 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.
\[\begin{aligned} x-3&\le 7 \\ x&\le 10 \end{aligned}\]Bierzemy pod uwagę założenie.
\[ S_1: x\in [3; 10] \]2)
Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.
\[\begin{aligned} -(x-3)&\le 7 \\ -x+3&\le 7 \\ -x&\le 4 \\ x&\ge -4 \end{aligned}\]Bierzemy pod uwagę założenie.
\[ S_2: x\in [-4; 3) \]Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest suma rozwiązań z każdego przypadku.
\[ x\in [-4; 3) \cup [3; 10] \]Co jest równoważne
\[ x\in [-4; 10] \]Przypadek 1) jest dla \$x+5\ge 0\$, więc \$x\ge -5 (+)\$.
Przypadek 2) \$x < -5 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
\[\begin{aligned} x+5&\ge 2 \\ x&\ge -3 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
\[ S_1: x\in [-3; \infty) \]2)
\[\begin{aligned} -(x+5)&\ge 2 \\ -x-5&\ge 2 \\ -x&\ge 7 \\ x&\le -7 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
\[ S_2: x\in (-\infty; -7] \]Rozwiązanie
\[ x\in (-\infty; -7] \cup [-3; \infty) \]Dwa kolejne przykłady ze zmienną \$x\$ po prawej stronie równania.
Przypadek 1) \$1-x\ge 0\$, więc \$x\le 1 (+)\$.
Przypadek 2) \$x >1 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
\[\begin{aligned} 1-x&>x+3 \\ -2x&>2 \\ x&< -1 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
\[ S_1: x\in (-\infty; -1) \]2)
\[\begin{aligned} -(1-x)&>x+3 \\ -1+x&>x+3 \\ -1&>3 \end{aligned}\]Sprzeczność. Brak rozwiązania.
\[ S_2: \emptyset \]Rozwiązanie
\[ x\in (-\infty; -1) \]Nie musimy robić założenia, że \$2x-5>0\$. Prawidłowe rozwiązanie lub jego brak wyjdzie przy rozpatrywaniu przypadków.
Przypadek 1) \$x+9\ge 0\$, więc \$x\ge -9 (+)\$.
Przypadek 2) \$x < -9 (-)\$.
Rozwiązujemy równanie dla każdego przypadku:
1)
\[\begin{aligned} x+9&< 2x-5 \\ x&> 14 \end{aligned}\]Rozwiązanie jest zgodne z założeniem.
\[ S_1: x\in (14; \infty) \]2)
\[\begin{aligned} -(x+9)&< 2x -5 \\ -x-9&< 2x-5 \\ 3x&>-4 \\ x&> -\frac{4}{3} \end{aligned}\]Rozwiązanie jest niezgodnie z założeniem.
\[ S_2: \emptyset \]Rozwiązanie
\[ x\in (14; \infty) \]