Rozwiązywanie nierówności kwadratowych

Przed rozwiązywaniem nierówności kwadratowych zapoznaj się z rozwiązywaniem równania kwadratowego, gdzie dowiesz się jak wyznaczać miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Zapoznaj się też z informacjami na temat funkcji kwadratowej .

Rozwiązanie nierówności kwadratowej polega na wyznaczeniu wszystkich \$x\$, dla którego nierówność:

jest spełniona, gdzie \$f(x)\$, to funkcja kwadratowa oraz (*) znak nierówności.

Robimy to poprzez:

1) Wyznaczenie miejsc zerowych \$f(x)\$.

2) Zarysowanie paraboli przechodzącej przez miejsca zerowe na osi \$OX\$ (wykres znaku funkcji).

3) Wyznaczenie przedziałów spełniających nierówność.

Położenia ramion paraboli w zależności od znaku współczynnika \$a\$:

Rozwiąż nierówność \$\displaystyle{ x^2\ge 4x }\$

Doprowadzamy wyrażenie kwadratowe do postaci ogólnej i wyznaczamy miejsca zerowe poprzez wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias. \[\begin{aligned} x^2&\ge 4x \\ x^2-4x&\ge 0 \\ x(x-4)&\ge 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_0\in \{ 0, 4 \} \end{aligned}\] Z wykresu znaku funkcji wyznaczamy rozwiązanie. Współczynnik \$a=1>0\$.

Rozwiązanie: \$\displaystyle{x\in(-\infty; 0] \cup [4; \infty)}\$

Rozwiąż nierówność \$\displaystyle{ -3x^2-24x< 0 }\$

\[\begin{aligned} -3x^2-24x&< 0 \\ -3x(x+8)&< 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_0\in \{ 0, -8 \} \end{aligned}\] Z wykresu znaku funkcji wyznaczamy rozwiązanie. Współczynnik \$a=-3<0\$.

Rozwiązanie: \$\displaystyle{x\in(-\infty; -8) \cup (0; \infty)}\$

Rozwiąż nierówność \$\displaystyle{ x^2\le 9 }\$

Doprowadzamy wyrażenie kwadratowe do postaci ogólnej i wyznaczamy miejsca zerowe poprzez wzory skróconego mnożenia. \[\begin{aligned} x^2&\le 9 \\ x^2-9&\le 0 \\ x^2-3^2&\le 0 \\ (x+3)(x-3)&\le 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_0\in \{ -3, 3 \} \end{aligned}\] Z wykresu znaku funkcji wyznaczamy rozwiązanie.

Rozwiązanie: \$\displaystyle{x\in[-3; 3]}\$

Rozwiąż nierówność \$\displaystyle{ -8x^2+64 > 0 }\$

\[\begin{aligned} -8x^2+64 &> 0 \ /:(-8) \\ x^2-8&< 0 \\ x^2-\left( \sqrt{8} \right)^2&< 0 \\ (x+\sqrt{8})(x-\sqrt{8})&< 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_0\in \{ -\sqrt{8}, \sqrt{8} \} \end{aligned}\] Z wykresu znaku funkcji wyznaczamy rozwiązanie.

Rozwiązanie: \$\displaystyle{x\in\left(-\sqrt{8}; \sqrt{8}\right) }\$

Rozwiąż nierówność \$x^2+5x-14\ge 0\$

Wyznaczamy miejsca zerowe metodą delty.

Współczynniki \$a=1, b=5, c=-14 \$.

\[\begin{aligned} \Delta = 5^2-4*(-14) = 25 +56 = 81 > 0 \end{aligned}\] Istnieją dwa miejsca zerowe i \$\sqrt{\Delta} = 9 \$. \[\begin{aligned} x_1=\frac{-5+9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-5-9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_0\in \{ -7, 2 \} \end{aligned}\] Z wykresu znaku funkcji wyznaczamy rozwiązanie.

Rozwiązanie: \$\displaystyle{x\in\left(-\infty; -7\right] \cup \left[2;\infty\right) }\$