Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną
Dla \$a\ge 0\$ mamy.
Równania
\[\begin{aligned} |x|&=a \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x=a \ \text{lub} \ x= -a \\ |x|&=|y| \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x=y \ \text{lub} \ x= -y \\ \end{aligned}\]Nierówności
\[\begin{aligned} |x|&\le a \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x\le a \ \text{oraz} \ x\ge -a \\ |x|&\ge a \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x\ge a \ \text{lub} \ x\le -a \\ \end{aligned}\]Uwaga. Gdy powyższe nierówności są nieostre (\$< \$ lub \$> \$) to są spełnione dla \$a>0\$.
Rozwiąż równanie \$ |x+7|=11 \$
Korzystając z pierwszej własności zamieniamy równanie \$|x+7|=11\$ na równanie równoważne.
\[\begin{aligned} x+7=11 \qquad &\text{lub} \qquad x+7=-11 \end{aligned}\]Rozwiązujemy dwa równania liniowe.
\[ \begin{aligned} x + 7 &= 11 &\quad &\text{lub} &\quad x + 7 &= -11 \\ x &= 4 &\quad & &\quad x &= -18 \end{aligned} \]Rozwiąż nierówność \$ |x|>3 \$
Korzystając z czwartej własności zamieniamy nierówność \$|x|>3\$ na nierówność równoważną.
\[\begin{aligned} x>3 \qquad &\text{lub} \qquad x< -3 \end{aligned}\]Rozwiązanie: \$\displaystyle{ x\in(-\infty; -3) \cup (3;\infty) }\$
Rozwiąż nierówność \$ |-x+1|< 2 \$
Korzystając z trzeciej własności zamieniamy nierówność \$|-x+1|< 2 \$ na nierówność równoważną.
\[\begin{aligned} -x+1&< 2 & &\quad &\text{oraz} &\qquad &-x+1 &> -2 \\ -x &< 1 & &\quad &\text{oraz} &\qquad &-x &> -3 \\ x&> -1 & &\quad &\text{oraz} &\quad &x &< 3 \end{aligned}\]Rozwiązanie: \$\displaystyle{ x\in(-1;3) }\$
Rozwiąż nierówność \$ |x-5|< 9-x \$
\[\begin{aligned}
x-5&< 9-x &\quad &\text{oraz} &\quad x-5&> -(9-x) \\
2x&< 14 &\quad &\text{oraz} &\quad x-5&> -9+x \\
x&< 7 &\quad &\text{oraz} &\quad -5&>-9 \\
& & &\text{oraz} &\quad x&\in\mathbb{R}
\end{aligned}\]
Rozwiązanie: \$\displaystyle{ x\in(-\infty; 7) }\$
Rozwiąż nierówność \$ |2x+1| \le x+3 \$
\[\begin{aligned}
2x+1 &\le x+3 \qquad &&\text{oraz} &\qquad 2x+1&\ge -(x+3) \\
x&\le 2 \qquad &&\text{oraz} &\qquad 2x+1&\ge -x-3 \\
& &&\text{oraz} &\qquad 4x&\ge -4 \\
& &&\text{oraz} &\qquad x&\ge -1
\end{aligned}\]
Rozwiązanie: \$\displaystyle{ x\in[-1; 2] }\$
Rozwiąż nierówność \$ | x-5| \ge x+11 \$
\[\begin{aligned}
x-5 &\ge x+11 \qquad &&\text{lub} &\qquad x-5 &\le -(x+11) \\
-5&\ge 11 \qquad &&\text{lub} &\qquad x-5&\le -x-11 \\
x&\in \emptyset \qquad &&\text{lub} &\qquad 2x&\le -6 \\
& &&\text{lub} &\qquad x&\le -3
\end{aligned}\]
Rozwiązanie: \$\displaystyle{ x\in (-\infty; -3] }\$