Rozwiązywanie równań kwadratowych - wartość bezwzględna
Dla \$a\in\mathbb{R}\$ mamy.
\[ \sqrt{a^2} = |a| \]
Korzystając z powyższej własności możemy rozwiązywać niektóre równania kwadratowe szybciej rozwiązując równanie z wartością bezwzględną .
Rozwiąż równanie \$ x^2=7 \$
\[\begin{aligned}
x^2&=7 / \sqrt{\space} \\ \sqrt{x^2} &= \sqrt{7} \\ |x|&=\sqrt{7}
\end{aligned}\]
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną.
\[\begin{aligned} x&=\sqrt{7} \quad &&\text{lub} &\quad &x=-\sqrt{7} \end{aligned}\]Rozwiązanie: \$x\in \{-\sqrt{7}, \sqrt{7} \}\$
Rozwiąż równanie \$ 3x^2 = 5 \$
\[\begin{aligned}
3x^2 &= 5 \ /:3 \\ x^2 &= \frac{5}{3} / \sqrt{\space} \\ \sqrt{x^2} &= \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}\\ |x| &= \frac{\sqrt{15}}{3}
\end{aligned}\]
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną.
\[\begin{aligned} x&=\frac{\sqrt{15}}{3} \quad &&\text{lub} &\quad &x=-\frac{\sqrt{15}}{3} \end{aligned}\]Rozwiązanie: \$\displaystyle{x\in \left\{-\frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3} \right\} }\$
Rozwiąż równanie \$ (x-7)^2=81 \$
\[\begin{aligned}
(x-7)^2&=81 / \sqrt{\space} \\ \sqrt{(x-7)^2} &= \sqrt{81} \\ |x-7|&=9
\end{aligned}\]
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną.
\[\begin{aligned} x-7&=9 \quad &&\text{lub} &\quad x-7&=-9 \\ x&=16 \quad &&\text{lub} &\quad x&=-2 \end{aligned}\]Rozwiązanie: \$x\in \{-2, 16 \}\$