Procenty
Wstęp
\$\displaystyle{ 1\% = \frac{1}{100} = 0.01 }\$
\$\displaystyle{ 69\% = \frac{69}{100} = 0.69}\$
\$\displaystyle{ 150\% = \frac{150}{100} = 1\frac{50}{100} = 1.5 }\$
\$\displaystyle{ 12.5\% = \frac{12.5}{100} = \frac{125}{1000} = 0.125 }\$
Problemy, które rozwiązujemy w zadaniach z treścią używając procentów można wyszczególnić następująco:
1) Obliczanie procentu z danej liczby.
2) Obliczanie liczby znając jej procent.
3) Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
4) O ile procent więcej (mniej) zwiększono (zmniejszono) daną liczbę.
5) Zadania z procentem składanym.
Przed omówieniem powyższych zagadnień, zapoznamy się z procentową notacją i omówimy zamianę ułamka na procent i odwrotnie.
O procentach mówimy, gdy myślimy o procencie jakieś wartości, np. powiedzenie "Około \$15\%\$ ludzi na świecie jest leworęcznych." oznacza, że w populacji ludzi przeciętnie \$15\$ osób na \$100\$ jest leworęczna. Gdybyśmy znali ilość ludzi na świecie, niech oznacza to duża litera P, to procent ludzi leworęcznych wyliczymy następująco:
\[ 15\% * P = \frac{15}{100} * P \]Zamiana ułamka na notację procentową
Aby zamienić ułamek na notację procentową możemy rozszerzyć lub skrócić licznik i mianownik ułamka, aby w mianowniku otrzymać liczbe \$100\$.
\$\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} * \frac{50}{50} = \frac{50}{100} = 50\% = 0.5 }\$
\$\displaystyle{ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} * \frac{25}{25} = \frac{75}{100} = 75\% = 0.75 }\$
\$\displaystyle{ \frac{625}{500} = \frac{625}{500} : \frac{5}{5} = \frac{125}{100} = 125\% = 1.25 }\$
\$\displaystyle{ 7\frac{9}{10} = \frac{79}{10} * \frac{10}{10} = \frac{790}{100} = 790\% = 7.9 }\$
Powyższa metoda jest szybka dla "prostych" ułamków, ale często nie jest tak prosto rozszerzyć (skrócić) ułamek do mianownika z liczbą \$100\$. Ogólna metoda polega na przemnożeniu ułamka przez liczbę \$100\$ i dodanie znaku procentu.
\$\displaystyle{ \frac{1}{2} * 100 = \frac{100}{2} = 50 }\$ + znak procentu: \$50\%\$
\$\displaystyle{ \frac{3}{4} * 100 = \frac{300}{4} = \frac{150}{2} = 75 }\$ + znak procentu: \$75\%\$
\$\displaystyle{ \frac{71}{\cancel{10}} * 10\cancel{0} = 710 }\$ + znak procentu: \$710\%\$
\$\displaystyle{ \frac{1}{3} * 100 = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} }\$ + znak procentu: \$33\frac{1}{3}\%\$
\$\displaystyle{ 0.5 * 100 = 50}\$ + znak procentu: \$50\%\$
\$\displaystyle{ 0.97 * 100 = 97 }\$ + znak procentu: \$97\%\$
\$\displaystyle{ 0.038 *100 = 3.8 }\$ + znak procentu: \$3.8\%\$
\$\displaystyle{ 0.6(5) * 100 = 65.(5) }\$ + znak procentu: \$65.(5)\%\$
Wykorzystując proporcję rozwiązujemy równanie:
\[\begin{align*} \frac{a}{b}&=\frac{x}{100} \\ bx&=100a \\ x&=\frac{100a}{b} \end{align*} \]Zamiana notacji procentowej na ułamek
Zapisujemy procent w postaci ułamka i skracamy go w razie potrzeby, gdy istnieje taka możliwość.
\$\displaystyle{ 12\% = \frac{12}{100} = \frac{3}{25} }\$
\$\displaystyle{ 25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} }\$
\$\displaystyle{ 91\% = \frac{91}{100} }\$
\$\displaystyle{ 315\% = \frac{315}{100} = \frac{63}{20} = 3\frac{3}{20}}\$
\$\displaystyle{ 7.8\% = \frac{7.8}{100} = \frac{78}{1000} = \frac{39}{500} }\$
Zamiana liczby na procent: Mnożymy liczbę przez \$100\$ i dodajemy znak procentu.
Zamiana procentu na liczbę: Usuwamy znak procentu i dzielimy liczbę przez \$100\$.
\$\displaystyle{ 0.137 = 13.7\% }\$
\$\displaystyle{ 99\frac{1}{3}\% = 99.(3)\% = 0.99(3) }\$