Potęga - wykładnik wymierny
Wykładnik wymierny dodatni
Potęga z liczby \$a\ge 0\$ o wykładniku wymiernym, gdzie \$n\in\mathbb{N}\$ oraz \$n\ge 2\$ to liczba:
Potęga z liczby \$a\ge 0\$ o wykładniku wymiernym, gdzie \$n, m\in\mathbb{N}\$ oraz \$n\ge 2, m\ge 1\$ to liczba:
Obie definicje są uogólnieniem potęgowania. Dla \$m=n\$, zgodnie z własnością pierwiastka arytmetycznego, mamy:
\[ a^{\frac{n}{n}} = \sqrt[n]{a^n} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^n = a \]\$\displaystyle{ 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 }\$
\$\displaystyle{ 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 }\$
\$\displaystyle{ 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2 }\$
\$\displaystyle{ 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 }\$
\$\displaystyle{ 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3 }\$
\$\displaystyle{ 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \left( \sqrt[3]{2} \right)^2 }\$
\$\displaystyle{ 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3} = \left( \sqrt[4]{3} \right)^3 }\$
\$\displaystyle{ 7^{\frac{5}{2}} = \sqrt{7^5} = \left( \sqrt{7} \right)^5 }\$
\$\displaystyle{ 15^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{15^4} = \left( \sqrt[3]{15} \right)^4 }\$
Wykładnik wymierny ujemny
Potęga z liczby \$a> 0\$ o wykładniku wymiernym ujemnym, gdzie \$n, m\in\mathbb{N}\$ oraz \$n\ge 2, m\ge 1\$ to liczba:
\$\displaystyle{ 2^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{1}{\left( \sqrt[3]{2} \right)^2} }\$
\$\displaystyle{ 3^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3^3}} }\$
\$\displaystyle{ 15^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{15^4}}}\$
Prawa działań
Prawa działań na potęgach z wykładnikiem wymiernym są takie same jak na potęgach z wykładnikiem całkowitym i rzeczywistym. Odpowiednie wzory są podane także na karcie wzorów maturalnych.
Pierwiastki w wyrażeniach możemy zamieniać na potęgi w celu ułatwienia obliczeń.