Potęgowanie i pierwiastkowanie - wzory

Potęgowanie

Potęga dla wykładnika rzeczywistego jest określona dla podstawy \$a\ge 0\$, takiej jak dla wykładnika wymiernego. Czyli podstawy potęgi są liczbami nieujemnymi. Rozszerzamy definicje dla wykładnika niewymiernego.

Dla \$a,b>0\$ i \$r_1, r_2\in\mathbb{R}\$ zachodzą poniższe wzory.

\[ a^{r_1}*a^{r_2} = a^{r_1+r_2} \] \[ a^{r_1}:a^{r_2} = a^{r_1-r_2} \] \[ \left(a^{r_1}\right)^{r_2} = a^{r_1*r_2} \] \[ \left( a*b \right)^{r_1} = a^{r_1}*b^{r_1} \] \[ \left( \frac{a}{b} \right)^{r_1} = \frac{a^{r_1}}{b^{r_1}} \]

\[ \left(\sqrt{7}\right)^3 * \left(\sqrt{7}\right)^{11} = \left(\sqrt{7}\right)^{3+11} = \left(\sqrt{7}\right)^{14} \]

\[ 2^{\sqrt{2}+1}:2^{\sqrt{2}-1} = 2^{(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)} = 2^{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1} = 2^2 \]

\[ \left(27\right)^{\frac{7}{3}}= \left( 27^{\frac{1}{3}} \right)^{7} = \left( \sqrt[3]{27} \right)^7 = 3^7 \]

\[ (125 * 8)^{-\frac{1}{3}} = 125^{-\frac{1}{3}} * 8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} * \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{5} * \frac{1}{2} \]

\[ \left( \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{\left( 2\sqrt{8}\right)^2}{\left( \sqrt{2} \right)^2} = \frac{2^{\cancel{2}} * \left(\sqrt{8}\right)^{2}}{\cancel{2}} = 2*8 \]

Pierwiastkowanie

Dla \$a,b>0\$ i \$n,m\in\mathbb{N}\$ przy czym \$n\ge 2\$ i \$m\ge 1\$ zachodzą poniższe wzory.

\[ \sqrt[n]{a*b} = \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b} \] \[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \ \text{dla} \ b\neq 0 \] \[ \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]

Dla \$m\ge 2\$ mamy też.

\[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n*m]{a} \]

A) \$\sqrt{2} * \sqrt{8} = \sqrt{2*8} = \sqrt{16} = 4 \$

B) \$\sqrt{3} * \sqrt{27} = \sqrt{3*27} = \sqrt{81} = 9 \$

C) \$\sqrt[3]{4} * \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4*2} = \sqrt[3]{8} = 2 \$

D) \$\sqrt[3]{32} * \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{32*2} = \sqrt[3]{64} = 4 \$

Pierwszej własności używamy też do wyłączania liczby z pod pierwiastka przed pierwiastek.

E) \$\sqrt{8} = \sqrt{2*4} = \sqrt{2} * \sqrt{4} = \sqrt{2} * 2 = 2\sqrt{4} \$

F) \$\sqrt{12} = \sqrt{4*3} = \sqrt{4} * \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \$

G) \$\sqrt{63} = \sqrt{9*7} = \sqrt{9} * \sqrt{7} = 3\sqrt{7} \$

H) \$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27*2} = \sqrt[3]{27} * \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} \$

I) \$\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125*5} = \sqrt[3]{125} * \sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5} \$

A) \$\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} }\$

B) \$\displaystyle{ \sqrt{\frac{8}{100}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{4*2}}{10} = \frac{\sqrt{4}*\sqrt{2}}{10} = \frac{\cancel{2}*\sqrt{2}}{\cancel{10}^5} = \frac{\sqrt{2}}{5} }\$

C) \$\displaystyle{ \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = 2*\sqrt{\frac{8}{2}} = 2*\sqrt{4} = 2*2 }\$

A) \$\displaystyle{ \sqrt{100^3} = \left( \sqrt{100} \right)^3 = 10^3 }\$

B) \$\displaystyle{ \left( \sqrt{2} \right)^4 = \sqrt{2^4} = \sqrt{16} = 4 }\$

C) \$\displaystyle{ \sqrt[3]{8^5} = \left( \sqrt[3]{8} \right)^5 = 2^5 }\$

A) \$\displaystyle{ \sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2*2]{16} = \sqrt[4]{16} = 2 }\$

B) \$\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{128}} = \sqrt[3*2]{128} = \sqrt[6]{128} = \sqrt[6]{64*2} = \sqrt[6]{64} * \sqrt[6]{2} = 2\sqrt[6]{2} }\$

Pierwiastek zawsze możemy zamienić na potęge z wykładnikiem wymiernym i korzystać z praw działań na potęgach.

\[\begin{aligned} 3\sqrt{8} * 2\sqrt[3]{4} &= 3*2 * 8^{\frac{1}{2}} * 4^{\frac{1}{3}} \\ &= 6*\left(2^3\right)^\frac{1}{2} * \left(2^2\right)^\frac{1}{3} \\ &= 6*2^{\frac{3}{2}} * 2^{\frac{2}{3}} \\ &= 6*2^{\frac{13}{6}} \\ &= 6*2^{\frac{1}{6}} * 2^{\frac{12}{6}} \\ &= 6* \sqrt[6]{2} * 2^2 \\ &= 24\sqrt[6]{2} \end{aligned}\]

Inne

Dla pierwiastka arytmetycznego, gdzie \$a\in\mathbb{R}\$ zachodzi równość.

\[ \sqrt{a^2} = |a| \]

Dla pierwiastka z liczby ujemnej stopnia nieparzystego zachodzą takie same prawa działań jak na pierwiastkach arytmetycznych, tylko musimy upewnić się, że stopnie pierwiastków są nieparzyste.

A) \$ \sqrt[3]{-3} * \sqrt[3]{-9} = \sqrt[3]{(-3) * (-9)} = \sqrt[3]{27} = 3 \$

B) \$ \sqrt[3]{5} * \sqrt[3]{-25} = \sqrt[3]{5 * (-25)} = \sqrt[3]{-125} = -5 \$

C) \$ \sqrt[3]{-81} = \sqrt[3]{-27*3} = \sqrt[3]{-27} * \sqrt[3]{3} = -3\sqrt[3]{3} \$

D) \$ \sqrt[3]{(-8)^2} = \left(\sqrt[3]{-8}\right)^2 = (-2)^2 \$

E) \$ \sqrt[3]{(-125)^7} = \left(\sqrt[3]{-125}\right)^7 = (-5)^7 \$

Spis treści

Potęgowanie i pierwiastkowanie - wzory

Potęgowanie

Pierwiastkowanie

Inne