Pierwiastek stopnia nieparzystego z \$a< 0\$
W artykule
Pierwiastek ujemny
W poniższym równaniu gdy \$a< 0, x< 0\$ oraz \$n\$ jest nieparzyste, możemy zawsze znaleźć jedno rozwiązanie (pierwiastek).
\[ x^n = a \]Weźmy \$x^3=(-8)\$ i otrzymamy \$x=(-2)\$. Na tej podstawie możemy wyciągać sobie pierwiastki nieparzystego stopnia z liczby ujemnej.
Pierwiastek z liczby ujemnej \$a < 0\$ stopnia nieparzystego \$n\in\mathbb{N}\$ oraz \$n\ge 3\$ to liczba \$\sqrt[n]{a}\$ taka, że:
Uwaga. Pierwiastek ten ma to samo oznaczenie jak pierwiastek arytmetyczny.
A więc pierwiastek jest dobrze określony dla \$a\in\mathbb{R}\$, gdy stopień pierwiastkowania jest nieparzysty lub dla \$a\ge 0\$, gdy stopień jest parzysty.
\$\sqrt[3]{-8} = (-2) \ \text{bo} \ (-2)^3=(-8)\$
\$\sqrt[3]{-27} = (-3) \ \text{bo} \ (-3)^3 = (-27)\$
\$\sqrt[5]{-32} = (-2) \ \text{bo} \ (-2)^5 = (-32)\$
\$\sqrt[7]{-1} = (-1) \ \text{bo} \ (-1)^7=(-1)\$
\$\displaystyle{\sqrt[3]{-\frac{27}{125}} = \left(-\frac{3}{5}\right) \ \text{bo} \ \left(-\frac{3}{5}\right)^3 = \left(-\frac{27}{125}\right)}\$
\$\sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8} = (-2) \$
\$\sqrt{(-2)^3} = \sqrt{-8} = \text{nie istnieje} \$
\$\sqrt{(-2)^4} = \sqrt{16} = 4 \$
\$\displaystyle{\sqrt[3]{(-2)^6} = \sqrt[3]{64} = 4 = \left(\sqrt[3]{-2}\right)^6 }\$