Wartość bezwzględna - wzory
Definicja
Dla nieujemnej liczby opuszczamy po prostu ||, a dla wartości ujemnej opuszczając te znaki zmieniamy znak liczby na przeciwny. A więc dla każdego \$a\in\mathbb{R}\$ mamy \$|a|\ge 0\$.
Zobacz jak rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną.
Wzory
Podstawowe prawa działań z wartością bezwzględną dla \$a,b\in\mathbb{R}\$.
\[ |a*b|=|a|*|b| \] \[ \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \ \text{dla} \ b\neq 0 \] \[ |a-b|=|b-a| \] \[ |a^2|=|a|^2 = a^2 \] \[ \sqrt{a^2} = |a| \]Nierówność trójkąta.
\[ |a|+|b|\ge |a+b| \]i wynikająca z niej własność
\[ |a|+|b|\ge |a-b| \]\$|7-5|=|2|=|5-7| = |-2|\$
\$|39-15|=|24|=|15-39| = |-24|\$
\$|-8-(-3)|=|-5|=|-3-(-8)| = |5|\$
\$\sqrt{2^2}=\sqrt{4} = 2 = |2|\$
\$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4} = 2 = |-2|\$
\$\sqrt{7^2}=\sqrt{49} = 7 = |7|\$
\$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49} = 7 = |-7|\$
\$\sqrt{x^2}=x, \ \text{dla} \ x\ge 0\$
\$\sqrt{x^2}=|x|, \ \text{dla} \ x\in\mathbb{R} \$
Równania i nierówności
Dla \$a\ge 0\$ mamy.
Równania
\[\begin{aligned} |x|&=a \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x=a \ \text{lub} \ x= -a \\ |x|&=|y| \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x=y \ \text{lub} \ x= -y \\ \end{aligned}\]Nierówności
\[\begin{aligned} |x|&\le a \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x\le a \ \text{oraz} \ x\ge -a \\ |x|&\ge a \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ x\ge a \ \text{lub} \ x\le -a \\ \end{aligned}\]Uwaga. Gdy powyższe nierówności są nieostre (\$< \$ lub \$> \$) to są spełnione dla \$a>0\$.