Równanie kwadratowe - rozwiązywanie
Równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
gdzie \$x\$, to niewiadoma, a liczby \$a,b,c\$ to współczynniki oraz \$a\neq 0\$.
Postać iloczynowa równania kwadratowego:
\[ a(x-x_1)(x-x_2)=0 \]
gdzie \$x_1\$ i \$x_2\$ to rozwiązania równania (miejsca zerowe).
Równanie kwadratowe może mieć co najwyżej dwa rozwiązania. Może mieć jedno rozwiązanie (\$x_1=x_2\$) lub nie mieć rozwiązania i wtedy nie ma postaci iloczynowej.
Rozwiązanie równania kwadratowego możemy odczytać wprost z postaci iloczynowej. Tego dotyczą sposoby poniżej. Możemy też użyć metody ogólnej, odczytać rozwiązania i otrzymać postać iloczynową równania kwadratowego.
Proste równania kwadratowe
Równania kwadratowe, to równania w których niewiadoma występuje w drugiej potędze.
Pamiętaj, że liczba podniesiona do potęgi parzystej jest nieujemna, więc np. poniższe równanie nie ma rozwiązania.
\[\begin{aligned} 9x^2 &= -3 \ /:9 \\ x^2&=-\frac{1}{3}\end{aligned}\]
"Proste" równania kwadratowe możemy próbować rozwiązywać poprzez sprowadzenie równania do postaci iloczynowej poprzez:
a) Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
b) Wzory skróconego mnożenia.
\[ \begin{aligned} a^2-b^2&=(a+b)(a-b) \\ a^2\pm 2ab + b^2&=(a\pm b)^2 \end{aligned} \]
Wyłączenie \$x\$ przed nawias
Rozwiązujemy równanie \$x^2=4x\$ wyłączając \$x\$ przed nawias.
\[\begin{aligned} x^2&=4x \\ x^2-4x&=0 \\ x(x-4)&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy dwa rozwiązania:
\[\begin{aligned} x= 0 \quad&\text{lub}\quad x-4=0 \\ x=0 \quad&\text{lub}\quad x=4 \end{aligned}\]
\[ \color{red} (x-0)(x-4)=0 \]
Rozwiązujemy równanie \$7x^2+35x=0\$ wyłączając \$7x\$ przed nawias.
\[\begin{aligned}7x^2+35x&=0 \\ 7x(x+5)&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy dwa rozwiązania:
\[\begin{aligned} 7x= 0 \quad&\text{lub}\quad x+5=0 \\ x=0 \quad&\text{lub}\quad x=-5 \end{aligned}\]
\[ \color{red} 7(x-0)(x+5)=0 \]
Rozwiązujemy równanie \$-3x^2=24x\$ wyłączając \$-3x\$ przed nawias.
\[\begin{aligned}-3x^2&=24x \\ -3x^2-24x&=0 \\ -3x(x+8)&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy dwa rozwiązania:
\[\begin{aligned} x\in\{ 0,-8 \} \end{aligned}\]
Wzory skróconego mnożenia
Rozwiązujemy równanie \$x^2=9\$ korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \$a^2-b^2=(a+b)(a-b)\$.
\[\begin{aligned} x^2&=9 \\ x^2-9&=0 \\ x^2-3^2&=0 \\ (x+3)(x-3)&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy dwa rozwiązania:
\[\begin{aligned} x+3 = 0 \quad&\text{lub}\quad x-3=0 \\ x=-3\quad&\text{lub}\quad x=3 \end{aligned}\]
Rozwiązujemy równanie \$x^2=1\$ korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \$a^2-b^2=(a+b)(a-b)\$.
\[\begin{aligned} x^2-1&=0 \\ x^2-1^2&=0 \\ (x+1)(x-1)&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy dwa rozwiązania:
\[\begin{aligned} x+1 = 0 \quad&\text{lub}\quad x-1=0 \\ x=-1\quad&\text{lub}\quad x=1 \end{aligned}\]
Rozwiązujemy równanie \$8x^2=64\$ korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \$a^2-b^2=(a+b)(a-b)\$.
\[\begin{aligned} 8x^2&=64 \ /:8 \\ x^2&=8 \\ x^2-8&=0 \\ x^2-\left(\sqrt{8}\right)^2&=0 \\ (x+\sqrt{8})(x-\sqrt{8})&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy dwa rozwiązania:
\[\begin{aligned} x+\sqrt{8} = 0 \quad&\text{lub}\quad x-\sqrt{8}=0 \\ x=-\sqrt{8} \quad&\text{lub}\quad x=\sqrt{8} \end{aligned}\]
Rozwiąż równanie \$16x^2=5\$
\[\begin{aligned} 16x^2&=5 \\ x^2&=\frac{5}{16} \\ x^2-\frac{5}{16}&=0 \\ x^2-\left(\sqrt{\frac{5}{16}}\right)^2&=0 \\ x^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{16}}\right)^2&=0 \\ x^2-\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2&=0 \\ \left(x+\frac{\sqrt{5}}{4}\right) \left(x-\frac{\sqrt{5}}{4}\right)&=0 \end{aligned}\]
Istnieją dwa rozwiązania.
\[\begin{aligned} x=-\frac{\sqrt{5}}{4} \quad&\text{lub}\quad x=\frac{\sqrt{5}}{4} \end{aligned}\]
Rozwiązujemy równanie \$x^2-2x+1=0\$ korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: \$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\$.
\[\begin{aligned} x^2-2x+1&=0 \\ x^2-2*x*1+1^2&=0 \\ (x-1)^2&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy jedno rozwiązanie:
\[\begin{aligned} x-1&=0 \\ x&=1 \end{aligned}\]
Rozwiązujemy równanie \$x^2+6x+9=0\$ korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: \$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\$.
\[\begin{aligned} x^2+6x+9&=0 \\ x^2+2*x*3+3^2&=0 \\ (x+3)^2&=0 \end{aligned}\]
Dostajemy jedno rozwiązanie:
\[\begin{aligned} x+3&=0 \\ x&=-3 \end{aligned}\]
Metoda ogólna (delty)
Równanie kwadratowe może mieć co najwyżej dwa rozwiązania, które obliczamy z poniższych wzorów.
Wzór na wyróżnik (deltę) równania kwadratowego:
\[ \Delta = b^2-4ac \]
Istnieją rozwiązania równania kwadratowego w \$\mathbb{R}\$, gdy \$\Delta \ge 0\$:
\[ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \]
Aby rozwiązać równanie kwadratowe:
1) Oblicz wyróżnik \$\Delta=b^2-4ac\$.
2) Jeżeli \$\Delta< 0\$, to nie ma rozwiązania.
3) Jeżeli \$\Delta= 0\$, to jest jedno rozwiazanie. (\$x_1=x_2\$)
4) Jeżeli \$\Delta > 0\$, to są dwa rozwiązania:
\[ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \]
Rozwiąż równanie \$x^2+6x+9=0\$
Współczynniki \$a=1, b=6, c=9 \$.
\[\begin{aligned} \Delta = 6^2-4*1*9 = 36-36=0 \end{aligned}\]
Istnieje jedno rozwiązanie:
\[\begin{aligned} x=\frac{-6}{2*1} = \frac{-6}{2} = -3 \end{aligned}\]
\[ \color{red} (x+3)(x+3)=0 \]
Rozwiąż równanie \$x^2+5=6x\$
Sprowadzamy równanie do postaci ogólnej.
\[ x^2-6x+5 = 0 \]
Współczynniki \$a=1, b=-6, c=5 \$.
\[\begin{aligned} \Delta = (-6)^2-4*1*5 = 36-20 = 16 > 0 \end{aligned}\]
Istnieją dwa rozwiązania i mamy \$\sqrt{\Delta} = 4\$:
\[\begin{aligned} x_1=\frac{-(-6) + 4}{2*1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x_2=\frac{-(-6) - 4}{2*1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{aligned}\]
Postać iloczynowa:
\[ \color{red} (x-1)(x-5)=0 \]
Rozwiąż równanie \$-2x^2+15x+8=0\$
Aby ułatwić sobie obliczenia, możemy przemnożyć równanie stronami przez \$-1\$.
\[\begin{aligned} -2x^2+15x+8&=0 \ /*(-1) \\ 2x^2-15x-8&=0 \end{aligned}\]
Współczynniki \$a=2, b=-15, c=-8 \$.
\[\begin{aligned} \Delta = (-15)^2-4*2*(-8) = 225+64 = 289 > 0 \end{aligned}\]
Istnieją dwa rozwiązania i mamy \$\sqrt{\Delta} = 17\$:
\[\begin{aligned} x_1=\frac{-(-15) + 17}{2*2} = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x_2=\frac{-(-15) - 17}{2*2} = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{aligned}\]
Postać iloczynowa:
\[ \color{red} 2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-8)=0 \]
