Logarytm - wzory
Definicja
Logarytmem z liczby \$b > 0\$ przy podstawie \$a>0\$ oraz \$a\neq 1\$ nazywamy taką liczbę \$x\$, że \$a^x=b\$:
\[ \log_a(b) = x \ \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \ a^x=b \]Liczbę \$b\$ nazywamy liczbą logarytmowaną, a liczbę \$a\$ podstawą logarytmu.
Aby obliczyć logarytm \$\log_a(b)\$ z definicji szukamy liczby \$x\$ takiej, że podniesienie \$a\$ do potęgi \$x\$ będzie równe liczbie \$b\$.
a) \$\log_2(8) = 3 \ \text{bo} \ 2^3=8 \$
b) \$\log_4(16) = 2 \ \text{bo} \ 4^2=16 \$
c) \$\log_a(1) = 0 \ \text{bo} \ a^0=1 \$
Wzory
\[\begin{aligned}
\log_a(b) + \log_a(c) &= \log_a(b*c) \\
\log_a(b) - \log_a(c) &= \log_a\left(\frac{b}{c}\right)
\end{aligned}\]
Wyłączenie wykładnika z liczby logarytmowanej przed logarytm.
\[ \log_a(b^r) = r*\log_a(b) \]Podstawa logarytmu podniesiona do tego logarytmu z liczbą logarytmowaną \$b\$ jest równa liczbie logarytmowanej.
\[ a^{\log_a(b)} = b \]Zamiana podstawy logarytmu z \$a\$ na \$c\$.
\[ \log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \]