Kombinatoryka - reguła dodawania
Dla dwóch zbiorów skończonych \$A\$ i \$B\$ zachodzą poniższe własności.
\[\begin{align} |A \cup B| &= |A| + |B| \quad \text{dla} \ A\cap B = \emptyset \\ |A \cup B| &= |A| + |B| - |A\cap B| \end{align} \]Własność \$(1)\$ mówi, że sumując liczebność dwóch zbiorów niezawierających tych samych elementów, zliczamy elementy z każdego zbioru.
Własność \$(2)\$ mówi, że sumując liczebność dwóch zbiorów zawierających te same elementy, zliczamy elementy z każdego zbioru i odejmujemy od tego liczebność części wspólnej obu zbiorów, aby nie liczyć elementów podwójnie.
W pewnej szkole jest \$3\$ nauczycieli matematyki i \$5\$ języka polskiego. Wiadomo, że dwóch nauczycieli uczy obu przedmiotów. Ile jest nauczycieli uczących matematykę lub języka polskiego?
\$M\$ - zbiór nauczycieli uczących matematykę
\$P\$ - zbiór nauczycieli uczących języka polskiego
\$|M| = 3\$
\$|P| = 5\$
\$M\cap P\$ - zbiór nauczycieli uczących matematykę i język polski
\$M\cup P\$ - zbiór nauczycieli uczących matematykę lub język polski
\[\begin{aligned} |M \cup P| &= |M| + |P| - |M\cap P| \\ &= 3+5-2 = 6 \end{aligned} \]Odp. Nauczycieli uczących matematykę lub język polski jest \$6\$.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \$100\$ podzielnych przez \$2\$ lub \$3\$?
\$D_2\$ - zbiór liczb podzielnych przez \$2\$
\$D_3\$ - zbiór liczb podzielnych przez \$3\$
\$D_2\cup D_3\$ - zbiór liczb podzielnych przez \$2\$ lub \$3\$
\$D_2\cap D_3\$ - zbiór liczb podzielnych przez \$2\$ i \$3\$
Wyznaczamy ilość liczb podzielnych przez \$2\$. Liczba naturalna podzielna przez dwa: \$2n, n\in\mathbb{N}\$.
\[\begin{aligned} 2n &< 100 \\ n&< 50 \\ n&\in [0; 49] \\ |D_2|&=50 \end{aligned} \]Wyznaczamy ilość liczb podzielnych przez \$3\$. Liczba naturalna podzielna przez trzy: \$3n, n\in\mathbb{N}\$.
\[\begin{aligned} 3n &< 100 \\ n&< 33\frac{1}{3} \\ n&\in [0; 33] \\ |D_3|&=34 \end{aligned} \]Wyznaczamy ilość liczb podzielnych przez \$2\$ i \$3\$ jednocześnie. Taka liczba naturalna to najmniejsza wspólna wielokrotność \$2\$ i \$3\$. \$NWW(2,3)=6\$.
Wyznaczamy ilość liczb podzielnych przez \$6\$: \$6n, n\in\mathbb{N}\$.
\[\begin{aligned} 6n &< 100 \\ 3n&< 50\\ n&< 16\frac{2}{3} \\ n&\in [0; 16] \\ |D_2\cap D_3|&=17 \end{aligned} \]Odpowiedź.
\[\begin{aligned} |D_2\cup D_3| &= |D_2| + |D_3| - |D_2\cap D_3| \\ &= 50 + 34 - 17 = 67 \end{aligned} \]Odp. Liczb naturalnych mniejszych od \$100\$ i podzielnych przez \$2\$ lub \$3\$ jest: \$67\$ .
Regułę dodawania łączy się najczęściej w zadaniach z regułą mnożenia.
Pewna drużyna siatkówki ma do dyspozycji \$2\$ różne koszulki w kolorze czerwonym i \$3\$ różne w kolorze niebieskim oraz \$4\$ różne pary spodenek w kolorze czerwonym i \$3\$ różne pary spodenek w kolorze niebieskim. Na ile sposobów reprezentant drużyny może skomplementować strój składający się z koszulki i spodenek w jednakowym kolorze?
Szukamy ilość par \$(koszulka; spodenki)\$ przy czym koszula i spodnie są w tym samym kolorze.
Ilość strojów w kolorze czerwonym:
\[ 2*4=8 \]Ilość strojów w kolorze niebieskim:
\[ 3*3=9 \]Ilość kompletnego stroju w jednakowym kolorze:
\[ 8+9=17 \]Odp. Reprezentant może skomplementować strój na \$17\$ sposobów.
Ze zbioru każdego rodzaju gatunku książek musimy wybrać dwie. Nie interesuje nas kolejność wyboru tych książek. Z każdego zbioru gatunku książki szukamy ilość podzbiorów.
\[ \{ książka1, książka2 \} \]Możliwość wyboru dwóch książek biograficznych:
Na każdą z \$5\$ książek biograficznych możemy wybrać \$4\$. Wtedy liczymy wszystkie pary \$(\text{biograficzna1}, \text{biograficzna2})\$, ale kolejność wyboru w naszym wypadku nie ma znaczenia, więc iloczyn dzielimy przez \$2\$, aby nie liczyć książek podwójnie.
\[ \frac{5*4}{2} = 10 \]Postępujemy podobnie.
Możliwość wyboru dwóch książek fantastycznych:
\[ \frac{8*7}{2} = 28 \]Możliwość wyboru dwóch książek kryminalnych (jest ich \$4\$):
\[ \frac{4*3}{2} = 6 \]Razem:
\[ 10 + 28 + 6 = 44 \]Odp. Wyboru dwóch książek tego samego gatunku dokonamy na \$44\$ sposoby.