Przesunięcie wykresu funkcji \$f(x)=ax^2\$
Na przykładzie paraboli zostanie omówiony wzór funkcji \$g(x)\$ powstałej przez przesunięcie funkcji (wykresu) \$f(x)\$ o wektor \$[p;q]\$.
Jednostka \$p\$ wskazuje przesunięcie na osi \$OX\$.
Jednostka \$q\$ wskazuje przesunięcie na osi \$OY\$.
Przesunięcie w pionie
Każdy punkt \$P=(x;y)\$ na wykresie funkcji \$f\$ przesuwamy otrzymując nowy punkt \$P^{'}=(x;y^{'})\$ następująco.
\[ y^{'} = y+q \]Stąd jeśli \$y=f(x)\$, to mamy wzór nowej funkcji.
\[g(x)=f(x)+q\]
Wierzchołek funkcji \$y=2x^2\$ przesuwamy o trzy jednostki w dół i nowy punkt wierzchołka wynosi \$W=(0;-3)\$.
Przesunięcie w poziomie
Każdy punkt \$P=(x;y)\$ na wykresie funkcji \$f\$ przesuwamy otrzymując nowy punkt \$P^{'}=(x^{'}, y)\$ następująco.
\[ x^{'} = x+p \]Stąd jeśli \$y=f(x)\$, to otrzymujemy \$y=f(x^{'}-p)\$. Mamy wzór nowej funkcji.
\[g(x)=f(x-p)\]Wykres funkcji \$y=x^2\$ został przesunięty o dwie jednostki w lewo. \$p=-2\$.
Wierzchołek funkcji przesuwamy o dwie jednostki w lewo i nowy punkt wierzchołka wynosi \$W=(-2;0)\$.
Funkcja \$f(x-p)+q\$, to funkcja \$f(x)\$ przesunięta na wykresie o wektor \$[p;q]\$.
Przesunięcie \$f(x)=ax^2\$
Wzór funkcji kwadratowej przesuniętej o wektor \$[p;q]\$ wygląda tak.
\[ f(x)=a(x-p)^2+q \]Używając wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy postać ogólną funkcji kwadratowej.
\[\begin{aligned} f(x)&=a(x^2-2xp+p^2)+q \\ &= ax^2-2apx+ap^2+q \end{aligned}\]