Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej dana jest wzorem:
\[ f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) \] gdzie \$a\neq 0\$ (współczynnik z postaci ogólnej) oraz \$x_1\$ i \$x_2\$, to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.A) \$f(x)=(x-3)(x-1)\$
B) \$g(x)=(x-2)(x+7)\$
C) \$h(x)=5(x+1)(x-2)\$
D) \$i(x)=-2(x+9)(x+3)\$
E) \$j(x)= \displaystyle{ \frac{1}{3}\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right) }\$
Dokładniejsze metody zamiany funkcji kwadratowej z postaci ogólnej na postać iloczynową znajdziesz w rozwiązywanie równań kwadratowych
Aby otrzymać postać iloczynową funkcji kwadratowej z postaci ogólnej, możemy wyznaczyć miejsca zerowe metodą delty z twierdzenia omawianego z wcześniejszego artykułu.
Współczynniki: \$\displaystyle{a=\frac{1}{2}, b=2, c=0 }\$ i delta.
\[ \Delta = 2^2-4*\frac{1}{2}*0 = 4 \]Wyznaczamy miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} \Delta &> 0 \\ \sqrt{\Delta} &= 2 \end{aligned}\]Istnieją dwa miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} x_1=\frac{-2+2}{2*\frac{1}{2}} = 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-2-2}{2*\frac{1}{2}} = \frac{-4}{1} = -4 \end{aligned}\]Postać iloczynowa:
\[ f(x)= \frac{1}{2}x\left(x+4\right) \]Współczynniki: \$\displaystyle{a=1, b=5, c=-14 }\$ i delta.
\[ \Delta = 5^2-4*1*(-14) = 25 + 56 = 81 \]Wyznaczamy miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} \Delta &> 0 \\ \sqrt{\Delta} &= 9 \end{aligned}\]Istnieją dwa miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} x_1=\frac{-5+9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-5-9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \end{aligned}\]Postać iloczynowa:
\[ f(x)= \left(x-2\right)\left(x+7 \right) \]Współczynniki: \$\displaystyle{a=-2, b=6, c=8 }\$ i delta.
\[ \Delta = 6^2-4*(-2)*8 = 36 + 64 = 100 \]Wyznaczamy miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} \Delta &> 0 \\ \sqrt{\Delta} &= 10 \end{aligned}\]Istnieją dwa miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} x_1=\frac{-6+10}{2*(-2)} = \frac{4}{-4} = -1 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-6-10}{2*(-2)} = \frac{-16}{-4} = 4 \end{aligned}\]Postać iloczynowa:
\[ f(x)= -2\left(x-4\right)\left(x+1 \right) \]Uwaga. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji sprowadza się do rozwiązania równania \$f(x)=0\$, więc wyznaczając miejsca zerowe z równania można je uprościć, np.
\[\begin{aligned} -2x^2+6x+8&= 0 \ /:(-2) \\ x^2-3x-4&=0 \end{aligned}\]Jednak funkcja \$f(x)=-2x^2+6x+8\$ nie jest tą samą funkcją (i jej wykres) co funkcja \$g(x)=x^2-3x-4 \$.
Należy o tym pamiętać wyznaczając postać iloczynową funkcji. (Współczynnik \$a\$).