Funkcja kwadratowa - miejsce zerowe
Przypomnienie: miejscem zerowym funkcji \$f(x)\$ jest argument \$x_0\$, taki, że \$f(x_0)=0\$.
Wzór na wyróżnik (deltę) funkcji kwadratowej:
\[ \Delta = b^2-4ac \]Funkcja kwadratowa \$f(x)=ax^2+bx+c\$ dla \$a\neq 0\$:
a) Ma jedno miejsce zerowe, gdy \$\Delta=0\$.
\[ x_0 = \frac{-b}{2a} \]b) Ma dwa miejsca zerowe, gdy \$\Delta>0\$.
\[ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \]c) Nie ma miejsc zerowych w \$\mathbb{R}\$, gdy \$\Delta < 0\$.
Zobacz jak rozwiązywać równania kwadratowe lub nierówności kwadratowe .
W poprzednim artykule wyznaczaliśmy położenie wierzchołka funkcji kwadratowej i nakreślaliśmy jej wykres, ale bez znajomości punktów przecięcia z osią \$OX\$. Znając miejsca zerowe, wykres może być dokładniejszy.
Współczynniki: \$\displaystyle{a=\frac{1}{2}, b=2, c=0 }\$ i delta.
\[ \Delta = 2^2-4*\frac{1}{2}*0 = 4 \]Wyznaczamy współrzędne wierzchołka.
\[ p = \frac{-2}{2*\frac{1}{2}} = -2 \] \[ q = \frac{-4}{4*\frac{1}{2}} = \frac{-4}{2} = -2 \]Wyznaczamy miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} \Delta &> 0 \\ \sqrt{\Delta} &= 2 \end{aligned}\]Istnieją dwa miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} x_1=\frac{-2+2}{2*\frac{1}{2}} = 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-2-2}{2*\frac{1}{2}} = \frac{-4}{1} = -4 \end{aligned}\]Wykres:
\$a>0\$: ramiona paraboli skierowane do góry
\$W=(-2;-2)\$:
\$y_0=0\$
\$x_0\in\{ 0;-4 \}\$
Współczynniki: \$\displaystyle{a=-1, b=6, c=-5}\$ i delta.
\[ \Delta = 6^2-4*(-1)*(-5) = 36-20=16 \]Wyznaczamy współrzędne wierzchołka.
\[ p = \frac{-6}{2*(-1)} = 3 \] \[ q = \frac{-16}{4*(-1)} = 4 \]Wyznaczamy miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} \Delta &> 0 \\ \sqrt{\Delta} &= 4 \end{aligned}\]Istnieją dwa miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} x_1=\frac{-6+4}{2*(-1)} = \frac{-2}{-2} = 1 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-6-4}{2*(-1)} = \frac{-10}{-2} = 5 \end{aligned}\]Wykres:
\$a< 0\$: ramiona paraboli skierowane do dołu
\$W=(3;4)\$:
\$y_0=-5\$
\$x_0\in\{ 1;5 \}\$
Współczynniki: \$\displaystyle{a=1, b=6, c=9}\$ i delta.
\[ \Delta = 6^2-4*1*9 = 36-36 = 0 \]Wyznaczamy współrzędne wierzchołka.
\[ p = \frac{-6}{2*1} = -3 \] \[ q = \frac{-0}{2*1} = 0 \]Wyznaczamy miejsca zerowe.
\[\begin{aligned} \Delta &= 0 \\ \end{aligned}\]Istnieje jedno miejsce zerowe.
\[\begin{aligned} x_0 = \frac{-6}{2*1} = -3 \end{aligned}\]Uwaga. Gdy \$\Delta=0\$, to współrzędne wierzchołka wynoszą \$(x_0; 0)\$.
Wykres:
\$a> 0\$: ramiona paraboli skierowane do góry
\$W=(-3;0)\$:
\$y_0=9\$
\$x_0 = -3\$
