Funkcja kwadratowa - wzór ogólny
Definicja
Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej dana jest wzorem:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \] gdzie \$a, b, c\$ to współczynniki i \$a\ne 0\$. Współczynnik \$c\$ nazywamy wyrazem wolnym.Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej dana jest wzorem:
\[ f(x) = a(x-p)^2 +q \] gdzie współczynnik \$a\neq 0\$ oraz współczynniki \$p\$ i \$q\$, to współrzędne wierzchołka paraboli.A) \$f(x)=2x^2+5x-7\$
B) \$g(x)=11x^2-3x+9\$
C) \$h(x)=-9x^2 + x - 15\$
D) \$i(x)=-3x^2 + 5\$
E) \$j(x)=4x^2 - 9x\$
F) \$k(x)=(x-3)^2 +1\$
G) \$l(x)=-7(x+5)^2\$
Mamy, że \$y_0=c\$, czyli wyraz wolny jest punktem przecięcia wykresu z osią \$OY\$, bo ogólnie dla funkcji kwadratowej:
\[ y_0 = f(0) = a*0^2 + b*0 + c = c \]Współrzędne wierzchołka
\$\Delta\$ (delta), to tak zwany wyróżnik funkcji kwadratowej.
Dla funkcji \$f(x)=x^2-4x+3\$ wyznaczamy współrzędne wierzchołka i rysujemy wykres funkcji.
Współczynniki: \$a=1, b=-4, c=3\$.
Wyznaczamy współrzędne.
\[ \Delta = (-4)^2-4*1*3 = 16-12 = 4 \] \[ p = \frac{-(-4)}{2*1} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ q = \frac{-4}{4*1} = -1 \]Wykres:
\$a>0\$: ramiona paraboli skierowane do góry
\$W=(2;-1)\$:
\$y_0=3\$
Postać kanoniczna: \$f(x)=(x-2)^2-1\$
Dla funkcji \$f(x)=-2x^2-4x+1\$ wyznaczamy współrzędne wierzchołka i rysujemy wykres funkcji.
Współczynniki: \$a=-2, b=-4, c=1\$.
Wyznaczamy współrzędne.
\[ \Delta = (-4)^2-4*(-2)*1 = 16+8 = 24 \] \[ p = \frac{-(-4)}{2*(-2)} = \frac{4}{-4} = -1 \] \[ q = \frac{-24}{4*(-2)} = \frac{-24}{-8} = 3 \]Wykres:
\$a< 0\$: ramiona paraboli skierowane do dołu
\$W=(-1;3)\$:
\$y_0=1\$
Postać kanoniczna: \$f(x)=-2(x+1)^2+3\$