Funkcja - wprowadzenie
Funkcja \$f:X\mapsto Y\$ to przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru \$X\$ jednego elementu ze zbioru \$Y\$.
Ilustracja:
Zbiór \$X\$ nazywamy dziedziną (\$D_f\$) funkcji, a zbiór \$Y\$ przeciwdziedziną.
Funkcje oznaczamy najczęściej małymi literami \$f, g, h\$ i tak dalej, ale nie tylko. Nawiązując do danej funkcji posługujemy się samą literką, np. powiemy "funkcja \$f\$ jest funkcją...". Zdarza się, że mówimy w tym samym znaczeniu "funkcja \$f(x)\$..." i nie mylić tego wtedy z wartością funkcji w punkcie \$x\$.
Elementy z dziedziny funkcji nazywamy argumentami funkcji.
Elementy z przeciwdziedziny funkcji dla których istnieje przyporządkowanie elementu z dziedziny nazywamy wartościami funkcji.
Funkcje definiujemy słownie określając regułkę przyporządkowania bądź wzorem:
\[ f(x) = \ \text{wzór} \]Czytaj: dla dowolnego argumentu \$x\in X\$ mamy przyporządkowanie \$f(x)\in Y\$ dane podanym wzorem.
Zbiór wartości \$W_f\$ funkcji \$f\$ to podzbiór przeciwdziedziny zawierający wszystkie wartości tej funkcji.
Ilustracja:
Zbiór wartości podajemy słownie, podając zakres elementów lub wyszczególniając wszystkie wartości funkcji.
Niech będzie funkcja \$f\$, która przyporządkowuje literom ze zbioru \$X=\{ a, b, c, d \}\$ kody ASCII (liczby) ze zbioru \$Y=\mathbb{N}\$.
\$X=\{ a,b,c,d \}\$ (dziedzina)
\$Y=\{ 0, 1, 2, 3, 4, \cdots \}\$ (przeciwdziedzina)
Przypisanie literom odpowiednie liczby kodu ascii:
\$f(a)=97 \$
\$f(b)=98 \$
\$f(c)=99 \$
\$f(d)=100 \$
Zbiór wartości \$W_f=\{ 97, 98, 99, 100 \}\$.
Niech będzie funkcja \$g\$, która przyporządkowuje uczniom pewnej klasy średnią ocenę na koniec roku szkolnego.
\$A\$ zbiór uczniów pewnej klasy (dziedzina)
\$B=\{ 1,2,3,4,5,6 \}\$ zbiór ocen (przeciwdziedzina)
Jest to poprawna funkcja. Zakładamy, że każdy uczeń ma tylko jedną przypisaną ocenę. Chodź wiele wiecej nie powiemy o tej funkcji, np. nie podamy zbioru wartości, bo musielibyśmy znać dokładnie oceny uczniów, to według definicji funkcji jest to prawidłowe przyporządkowanie.
\[ g:A \mapsto B \]Niech będzie funkcja \$h\$, która przyporządkowuje liczbom naturalnym kwadrat danej liczby:
\[ h(n) = n^2 \]\$\mathbb{N}\$ (dziedzina)
\$\mathbb{N}\$ (przeciwdziedzina)
Można by też przyjąć jako przeciwdziedzinę zbiór \$\mathbb{R}\$.
Zbiór wartości \$W_h=\{ n\in\mathbb{N} : n^2 \} \$.
Niech będzie funkcja \$P\$, która przyporządkowuje liczbom naturalnym resztę z dzielenia przez \$2\$:
\[ P(n) = \begin{cases} 0, \ \text{n jest parzyste} \\ 1, \ \text{n jest nieparzyste} \end{cases} \]\$\mathbb{N}\$ (dziedzina)
\$\mathbb{N}\$ (przeciwdziedzina)
Można by też przyjąć jako przeciwdziedzinę zbiór \$\mathbb{R}\$.
Reszta z dzielenia przez \$2\$, daje resztę \$0\$ lub \$1\$.
Zbiór wartości \$W_P=\{ 0, 1 \} \$.