Monotoniczność funkcji
Przedziały monotoniczności
Funkcja jest rosnąca na zbiorze (w przedziale) \$I\subset D_f\$, jeżeli dla dowolnych \$x_1,x_2\in I\$ takich, że \$x_1 < x_2\$ mamy \$f(x_1)< f(x_2)\$.
Funkcja jest malejąca na zbiorze (w przedziale) \$I\subset D_f\$, jeżeli dla dowolnych \$x_1,x_2\in I\$ takich, że \$x_1 < x_2\$ mamy \$f(x_1)> f(x_2)\$.
Funkcja jest stała na zbiorze (w przedziale) \$I\subset D_f\$, jeżeli dla dowolnych \$x_1,x_2\in I\$ takich, że \$x_1 < x_2\$ mamy \$f(x_1)= f(x_2)\$.
Wskazówki dotyczące wyznaczania przedziałów monotoniczności z wykresu funkcji.
stała:
\$\displaystyle{ x\in (-\infty; -4] }\$
\$\displaystyle{ x\in [3;6] }\$
Rosnąca:
\$\displaystyle{ x\in [-4;-1] }\$
Malejąca:
\$\displaystyle{ x\in [-1; 3]}\$
\$\displaystyle{ x\in [6; \infty) }\$
Rosnąca:
\$\displaystyle{ x\in (-6; 1] }\$
\$\displaystyle{ x\in (3;5) }\$
Malejąca:
\$\displaystyle{ x\in [1; 3) }\$
\$\displaystyle{ x\in [5; \infty) }\$
Rosnąca:
\$\displaystyle{ x\in (-2; 2] \cup [2;5] = (-2;5] }\$
Malejąca:
\$\displaystyle{ x\in [5; 7] }\$
Monotoniczność funkcji
Funkcja jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dany przedział monotoniczności pokrywający się z dziedziną funkcji.
Funkcję monotoniczną nazywamy odpowiednio funkcją rosnącą, malejącą lub stałą w zależności od typu przedziału monotoniczności.
Przykłady funkcji rosnących.
Przykłady funkcji malejących.
Aby wykazać, że funkcja jest rosnąca, musimy pokazać, że dla dowolnych argumentów \$x_1, x_2\in D_f\$ takich, że jeśli \$x_1< x_2\$ to zachodzi:
\[ f(x_1) < f(x_2) \]Niech \$x_1, x_2\in D_f\$ oraz \$x_1 < x_2\$ i mamy.
\[\begin{aligned} \frac{1}{2}x_1-3 &< \frac{1}{2}x_2-3 \ /+3 \\ \frac{1}{2}x_1 &< \frac{1}{2}x_2 \ /*2 \\ x_1 &< x_2 \end{aligned}\]Ostatnia nierówność jest prawdziwa z założenia, a więc ciąg nierówności równoważnych jest prawdziwy i zachodzi \$f(x_1) < f(x_2)\$.
Aby wykazać, że funkcja jest malejąca, musimy pokazać, że dla dowolnych argumentów \$x_1, x_2\in D_f\$ takich, że jeśli \$x_1< x_2\$ to zachodzi:
\[ f(x_1) > f(x_2) \]Niech \$x_1, x_2\in D_f\$ oraz \$x_1 < x_2\$ i mamy.
\[\begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^{x_1} &> \left(\frac{1}{2}\right)^{x_2} \\ \frac{1}{2^{x_1}} &> \frac{1}{2^{x_2}} \ / * 2^{x_1} \end{aligned}\] \[ 1 > \frac{2^{x_1}}{2^{x_2}} = 2^{x_1 - x_2} \]Ostatnia nierówność jest prawdziwa, bo \$2^{x_1} < 2^{x_2}\$, a więc ciąg nierówności równoważnych jest prawdziwy i zachodzi \$f(x_1) > f(x_2)\$.
Aby wykazać, że funkcja jest malejąca, musimy pokazać, że dla dowolnych argumentów \$x_1, x_2\in D_f\$ takich, że jeśli \$x_1< x_2\$ to zachodzi:
\[ f(x_1) > f(x_2) \]Niech \$x_1, x_2\in D_f\$ oraz \$x_1 < x_2\$ i mamy.
\[\begin{aligned} ax_1 + b &> ax_2 + b \ /-b \\ ax_1 &> ax_2 \ /:a \\ x_1 &< x_2 \\ \end{aligned}\]Ostatnia nierówność jest prawdziwa z założenia, a więc ciąg nierówności równoważnych jest prawdziwy i zachodzi \$f(x_1) > f(x_2)\$.
Poniżej przykłady funkcji niemonotonicznej. Dla takich funkcji możemy wyznaczać przedziały monotoniczności.
Przykłady funkcji niemonotonicznych.
